2022-01-03

点と直線の距離(2)

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点と直線の距離(2)

$xy$ 平面上の直線(1) $a x + b y + c = 0$ と点 $P ( x_0 , y_0 )$ の距離 $d$ を求めます。

$a^2 + b^2 \neq 0$ の条件で、

$\displaystyle a x + b y + c = 0 \Leftrightarrow b y = - a x - c \Leftrightarrow y = - \frac{ a }{ b } x - \frac{ c }{ b }$

f:id:windview_canada:20220103204425p:plain — 点と直線の距離 (2)

点 $P ( x_0 , y_0 )$ を通り直線(1) に平行な直線(2) を考えると、直線(2) の方程式は、

$\displaystyle a ( x - x_0 ) + b ( y - y_0 ) = 0 \Leftrightarrow b ( y - y_0 ) = - a ( x - x_0 ) \Leftrightarrow y - y_0 = - \frac{ a }{ b } ( x - x_0 ) = - \frac{ a }{ b } x + \frac{ a }{ b } x_0 \\ \displaystyle \Leftrightarrow y = - \frac{ a }{ b } x + \frac{ a }{ b } x_0 + y_0$

また、点 $P$ から直線(1) に降ろした垂線と直線(1) との交点を $Q$ ，直線(1) と $y$ 軸との交点を $H$ ，直線(2) と $y$ 軸との交点を $P '$ ，更に点 $P '$ から直線(1) に降ろした垂線と直線(1) との交点を $Q '$ とそれぞれ置いていく。

そうすると、

$d = P Q = P ' Q '$

であり、

$\displaystyle P ' H = \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 - \left( - \frac{ c }{ b } \right) \right| = \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 + \frac{ c }{ b } \right|$

ところで、直線(1) の傾きは、 $\displaystyle - \frac{ a }{ b }$ なので、図のような直角三角形 $ABC$ を考えることができる。

この時、

$\triangle{ABC} \sim \triangle{Q'P'H}$

なので、 $\displaystyle BC = \sqrt{ a^2 + b^2 }$ を考慮して、

$\displaystyle AB : BC = Q'P' : P'H \Leftrightarrow | b | : \sqrt{ a^2 + b^2 } = d : \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 + \frac{ c }{ b } \right| \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot d = | b | \cdot \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 + \frac{ c }{ b } \right| = | a x_0 + b y_0 + c |$

$\displaystyle \Leftrightarrow d = \frac{| a x_0 + b y_0 + c |}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$

＜関連＞
点と直線の距離
式の展開、因数分解

2022-01-02

累乗の和 - 八乗和の公式

数学・幾何学

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累乗の和 - 八乗和の公式

八乗和の公式の導出です。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 9 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^9 } = 1^9 + 2^9 + \cdots + ( n - 1 )^9 + n^9 - \left\{ 0^9 + 1^9 + \cdots + ( n - 2 )^9 + ( n - 1 )^9 \right\} = n^9 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 9 } = n^9 + \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^9 } \\ \displaystyle = n^9 + \sum_{k=1}^{n} { \left( k^9 - 9 k^8 + 36 k^7 -84 k^6 + 126 k^5 - 126 k^4 + 84 k^3 - 36 k^2 + 9 k - 1 \right) } \\ \displaystyle = n^9 + \sum_{k=1}^{n} { k^9 } - 9 \sum_{k=1}^{n} { k^8 } + 36 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } - 84 \sum_{k=1}^{n} { k^6 } + 126 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } - 126 \sum_{k=1}^{n} { k^4 } + 84 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } - 36 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } \\ \displaystyle + 9 \sum_{k=1}^{n} { k } - n \\ \displaystyle \Leftrightarrow 9 \sum_{k=1}^{n} { k^8 } - n ( n + 1 ) \left( n^7 - n^6 + n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n - 1 \right)$
$\displaystyle = 6 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } - 84 \sum_{k=1}^{n} { k^6 } + 126 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } - 126 \sum_{k=1}^{n} { k^4 } + 84 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } - 36 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } + 9 \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{1}$

更に(1)と、七乗和、六乗和、五乗和、四乗和、三乗和、二乗和の公式から、

$\displaystyle 9 \sum_{k=1}^{n} { k^8 } - n ( n + 1 ) \left( n^7 - n^6 + n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n - 1 \right) \\ \displaystyle = 36 \left\{ \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \right\} - 84 \left\{ \frac{1}{42} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n ^ 4 + 6 n ^ 3 - 3 n + 1 \right) \right\} \\ \displaystyle + 126 \left\{ \frac{ 1 }{ 12 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) \right\} - 126 \left\{ \frac{1}{30} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n ^ 2 + 3 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle + 84 \left\{ \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 \right\} -36 \left\{ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\} + 9 \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 3 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) - 2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n ^ 4 + 6 n ^ 3 - 3 n + 1 \right) \\ \displaystyle + \frac{ 21 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) - \frac{ 21 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n ^ 2 + 3 n - 1 \right) + 21 n^2 ( n + 1 )^2 \\ \displaystyle - 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + \frac{ 9 }{ 2 } n ( n + 1 ) \\ \displaystyle \Leftrightarrow 9 \sum_{k=1}^{n} { k^8 } = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) + 21 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) +42 \right\} \\ \displaystyle - \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left\{ 10 \left( 3 n ^ 4 + 6 n ^ 3 - 3 n + 1 \right) + 21 \left( 3 n ^ 2 + 3 n - 1 \right) + 30 \right\} \\ \displaystyle + n ( n + 1 ) \left( n^7 - n^6 + n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n - 1 \right) + \frac{ 9 }{ 2 } n ( n + 1 ) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 9 n^4 + 18 n^3 -3 n^2 - 12 n + 6 + 42 n^2 + 42 n - 21 + 42 \right) \\ \displaystyle - \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 30 n^4 + 60 n^3 - 30 n + 10 + 63 n^2 + 63 n - 21 + 30 \right) \\ \displaystyle + \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left\{ 2 \left( n^7 - n^6 + n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n - 1 \right) + 9 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 9 n^4 + 18 n^3 + 39 n^2 + 30 n + 27 \right) \\ \displaystyle - \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 30 n^4 + 60 n^3 + 63 n^2 + 33 n + 19 \right) \\ \displaystyle + \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( 2 n^7 - 2 n^6 + 2 n^5 - 2 n^4 + 2 n^3 - 2 n^2 + 2 n - 2 + 9 \right) \\ \displaystyle \Leftrightarrow 9 \sum_{k=1}^{n} { k^8 } + \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 30 n^4 + 60 n^3 + 63 n^2 + 33 n + 19 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left\{ n ( n + 1 ) \left( 9 n^4 + 18 n^3 + 39 n^2 + 30 n + 27 \right) \right\} \\ \displaystyle + \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( 2 n^7 - 2 n^6 + 2 n^5 - 2 n^4 + 2 n^3 - 2 n^2 + 2 n + 7 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( 9 n^6 + 27 n^5 + 57 n^4 + 69 n^3 + 57 n^2 + 27 n \right) \\ \displaystyle + \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( 2 n^7 - 2 n^6 + 2 n^5 - 2 n^4 + 2 n^3 - 2 n^2 + 2 n + 7 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( 9 n^6 + 27 n^5 + 57 n^4 + 69 n^3 + 57 n^2 + 27 n + 2 n^7 - 2 n^6 + 2 n^5 - 2 n^4 + 2 n^3 - 2 n^2 + 2 n + 7 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( 2 n^7 + 7 n^6 + 29 n^5 + 55 n^4 + 71 n^3 + 55 n^2 + 29 n + 7 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( n^6 + 3 n^5 + 13 n^4 + 21 n^3 + 25 n^2 + 15 n + 7 \right) \\ \displaystyle \Leftrightarrow 9 \sum_{k=1}^{n} { k^8 } = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( n^6 + 3 n^5 + 13 n^4 + 21 n^3 + 25 n^2 + 15 n + 7 \right) \\ \displaystyle - \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 30 n^4 + 60 n^3 + 63 n^2 + 33 n + 19 \right) \\ \small \displaystyle = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left\{ 5 \left( n^6 + 3 n^5 + 13 n^4 + 21 n^3 + 25 n^2 + 15 n + 7 \right) - 2 \left( 30 n^4 + 60 n^3 + 63 n^2 + 33 n + 19 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 5 n^6 + 15 n^5 + 65 n^4 + 105 n^3 + 125 n^2 + 75 n + 35 - 60 n^4 - 120 n^3 - 126 n^2 - 66 n - 38 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 5 n^6 + 15 n^5 + 5 n^4 - 15 n^3 - n^2 + 9 n - 3 \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^8 } = \frac{ 1 }{ 90 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 5 n^6 + 15 n^5 + 5 n^4 - 15 n^3 - n^2 + 9 n - 3 \right) \tag{2}$

2022-01-01

初日の出 2022

田園

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f:id:windview_canada:20220101094020j:plain — 初日の出 20220101_01

f:id:windview_canada:20220101094133j:plain — 初日の出 20220101_02

f:id:windview_canada:20220101094203j:plain — 初日の出 20220101_03

f:id:windview_canada:20220101094434j:plain — 初日の出 20220101_04

f:id:windview_canada:20220101094516j:plain — 初日の出 20220101_05

f:id:windview_canada:20220101094543j:plain — 東三河ふるさと公園の展望ツツジ園の元旦の早朝の様子 20220101_01

20220101土晴れ 5⇔0 北西5 海抜190-193m

明けましておめでとうございます。

東三河ふるさと公園の展望ツツジ園(遠見山山頂)から見た初日の出です。

本日は天候に恵まれ、素晴らしい初日の出を見る(撮る)ことができました。

富士山も拝めて、今年は良いことがありそうです。

東三河ふるさと公園は普段は駐車場が朝7時開門で夕方は午後5時半に閉門します。

豊川市の1月1日の地平線(水平線)からの日の出の時刻は6時58分なのですが、実際は山の稜線から出てくるので7時2分～7時3分くらいのところで陽が出始めました。(経度137.307303°、緯度34.837217°、標高193.105377mとして地平線からの時刻を正確に計算すると6時55分25秒と出ました)

いずれにせよ日の出に間に合わないことになりますが、元旦のみ朝5時半から開門します。

私は6時15分頃御津側の駐車場(南側駐車場)に着いて、6時20分頃から登って6時34分頃展望ツツジ園に着いてスタンバっていました。

思った以上に人が居たので、撮影場所確保と密にならない意味でも脚立を持って登って正解でした。

蒲郡市アメダス
03:00 -0.7℃
04:00 -1.1℃
05:00 -0.3℃
06:00 -0.5℃
07:00 -0.7℃ ←ここ
08:00 0.1℃
09:00 1.2℃
10:00 3.0℃
11:00 4.8℃
12:00 5.4℃
13:00 6.0℃
14:00 6.0℃
15:00 5.3℃
16:00 4.4℃
17:00 3.1℃
18:00 2.5℃
19:00 2.1℃
20:00 1.5℃
21:00 0.9℃
最高気温 6.7℃、最低気温 -1.2℃

🔥ウォーキング＋ランニングの距離	3.7km
🔥歩数	5,842歩
🔥登った階数	51階

2021-12-31

累乗の和 - 四乗和の公式(2)

数学・幾何学

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累乗の和 - 四乗和の公式(2)

四乗和の公式の導出です。

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) \\ \displaystyle = k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) \left\{ ( k + 4 ) - ( k - 1 ) \right\}$
$\displaystyle = 5 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) = 5 \left( k^4 + 6 k^3 + 11 k^2 + 6 k \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) \right\} } \\ \displaystyle = \sum_{k=1}^{n} { k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) } \\ \displaystyle = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 + \cdots + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) \\ \displaystyle - \left\{ 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) \right\}$
$= n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) \tag{3}$
これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 5 \left( k^4 + 6 k^3 + 11 k^2 + 6 k \right) \right\} } = 5 \sum_{k=1}^{n} { \left( k^4 + 6 k^3 + 11 k^2 + 6 k \right) } \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left( k^4 + 6 k^3 + 11 k^2 + 6 k \right) } = \sum_{k=1}^{n} { k^4 } + 6 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } + 11 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } + 6 \sum_{k=1}^{n} { k }$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^4 } = \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) - 6 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } - 11 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } - 6 \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{4}$

これと、三乗和、二乗和の公式から、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^4 } = \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) - 6 \left\{ \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 \right\} - 11 \left\{ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\} - 6 \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) \left( n^3 + 9 n^2 + 26 n + 24 \right) - \frac{ 3 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( n^2 + n \right) - \frac{ 11 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - 3 n ( n + 1 ) \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^4 } + \frac{ 11 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) \left\{ 2 \left( n^3 + 9 n^2 + 26 n + 24 \right) - 15 \left( n^2 + n \right) - 30 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) \left( 2 n^3 + 18 n^2 + 52 n + 48 - 15 n^2 - 15 n - 30 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) \left( 2 n^3 + 3 n^2 + 37 n + 18 \right) = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( n^2 + n + 18 \right) \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^4 } = \frac{ 1 }{ 10 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( n^2 + n + 18 \right) - \frac{ 11 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 30 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left\{ 3 \left( n^2 + n + 18 \right) - 55 \right\} = \frac{ 1 }{ 30 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n^2 + 3 n + 54 - 55 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 30 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n^2 + 3 n - 1 \right)$
$\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n} { k^4 } = \frac{ 1 }{ 30 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n^2 + 3 n - 1 \right) \tag{5}$

2021-12-30

安加比古窯での貸切陶芸体験

田園

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f:id:windview_canada:20220101102423j:plain — 安加比古窯での貸切陶芸体験 20220101_01

20211230木晴れ 11⇔6 西北西6

愛知県蒲郡市神ノ郷町にある安加比古窯(あかひこがま)での貸切陶芸体験に行ってきました。

子供達には陶芸は初めての体験でしたが、加藤先生は気さくで教え方も大変お上手で、子供達もサクサク作って直ぐに作り終わってしまいました。

その後、茶室に案内頂き、茶菓子を戴きました。茶室は躙(にじ)り口から入る2畳の本格的なもので、このようなところで戴く御抹茶は初めての経験です。しかも器(うつわ)は先生の作品と言う、非常に贅沢なひと時を過ごさせて頂きました。加藤先生は茶室に関しても造詣が深く、色々と勉強させて頂きました。

今日子供たちが作った作品は先生が手直しし、1か月後くらいに焼き上がるそうです。子供達もまた行きたいと言っていました。

🔥ウォーキング＋ランニングの距離	8.1km
🔥歩数	12,251歩
🔥登った階数	157階

2021-12-30

累乗の和 - 二乗和の公式(2)

数学・幾何学

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累乗の和 - 二乗和の公式(2)

二乗和の公式の導出です。

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) \left\{ ( k + 2 ) - ( k - 1 ) \right\}$
$= 3 k ( k + 1 ) = 3 \left( k^2 + k \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) \right\} } = \sum_{k=1}^{n} { k ( k + 1 ) ( k + 2 ) } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 ) k ( k + 1 ) } \\ \displaystyle = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \\ \displaystyle - \left\{ 0 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + \cdots + ( n - 2 ) ( n - 1 ) n + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) \right\}$
$= n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 3 \left( k^2 + k \right) \right\} } = 3 \sum_{k=1}^{n} { \left( k^2 + k \right) } \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left( k^2 + k \right) } = \sum_{k=1}^{n} { k^2 } + \sum_{k=1}^{n} { k }$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^2 } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) - \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{4}$

更に展開していくと、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2 } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) - \sum_{k=1}^{n} { k } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) - \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 2 ( n + 2 ) - 3 \right\} = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 4 - 3 ) = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )$
$\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n} { k^2 } = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \tag{5}$

2021-12-29

累乗の和 - 三乗和の公式(3)

数学・幾何学

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累乗の和 - 三乗和の公式(3)

三乗和の公式の導出です。

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \left\{ ( k + 3 ) - ( k - 1 ) \right\}$
$= 4 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = 4 \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \right\}} \\ \displaystyle = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) \right\} } - \sum_{k=1}^{n} { \left\{ ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \right\} } \\ \displaystyle = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) \\ \displaystyle - \left\{ 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots + ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \right\}$
$= n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 4 \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) \right\} } = 4 \sum_{k=1}^{n} { \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) } \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) } = \sum_{k=1}^{n} { k^3 } + 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } + 2 \sum_{k=1}^{n} { k }$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{4}$

これと、三乗和、二乗和の公式より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k } \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 3 \left\{ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\} - 2\left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - n ( n + 1 ) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left\{ ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 2 ( 2 n + 1 ) - 4 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left( n^2 + 5 n + 6 - 4 n - 2 - 4 \right) = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left( n^2 + n \right)$
$\displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^2 \tag{5}$

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