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2階定数係数同次微分方程式

$\large y'' + a y' + b = 0 \tag{1}$

式(1)に

$y = e^{\lambda x} \tag{2}$

を代入することを考えてみる。

$y' = \lambda e^{\lambda x}$ ， $y'' = \lambda^{2} e^{\lambda x}$ なので、(1)式は、

$\lambda^{2} e^{\lambda x} + a \lambda e^{\lambda x} + b e^{\lambda x} = 0 \Leftrightarrow e^{\lambda x} \left( \lambda ^{2} + a \lambda + b \right) = 0$

と変形できる。

ここで $e^{\lambda x}$ ＞ $0$ なので

$\lambda ^{2} + a \lambda + b = 0 \tag{3}$

式(2)を特性方程式という。これを解き、それぞれの解の場合につき微分方程式(1)を解く。

(i) (3)式が相異なる2つの実数解 $\lambda_1$ ， $\lambda_2$ を持つ場合、

基本解は、 $e^{\lambda_1 x}$ ， $e^{\lambda_2 x}$ であり、これらを線形結合したものが一般解となる。

$\therefore \large y = C_1 e^{{\lambda_1} x} + C_2 e^{{\lambda_2} x} \tag{4}$

(ii) (3)式が重解 $\displaystyle \lambda_3 \left( = - \frac{a}{2} \right)$ を持つ場合、

一次独立な基本解を2つ見つけたいが、この場合 $\lambda_3$ の1つしか見つけられていない。

ここで定数部分を函数 $C_7 ( x )$ に変えてみる。

$y = C_7 ( x ) e^{ \lambda_3 x }$ を(1)式に代入すると、

${C_7}'' ( x ) e^{ \lambda_3 x } + 2 {C_7}' ( x ) \left( e^{ \lambda_3 x } \right)' + C_7 ( x ) \left( e^{ \lambda_3 x } \right)'' + a \left\{ {C_7}' ( x ) e^{ \lambda_3 x } + C_7 ( x ) \left( e^{ \lambda_3 x } \right)' \right\} + b C_7 ( x ) e^{ \lambda_3 x } = 0 \\ \Leftrightarrow C_7 ( x ) \left\{ \left( e^{ \lambda_3 x } \right)'' + a \left( e^{ \lambda_3 x } \right)' + b e^{ \lambda_3 x } \right\} + {C_7}' ( x ) \left\{ 2 \left( e^{ \lambda_3 x } \right)' + a e^{ \lambda_3 x } \right\} + {C_7}'' ( x ) e^{ \lambda_3 x } = 0 \\ \Leftrightarrow {C_7}' ( x ) \left( 2 \lambda_3 e^{ \lambda_3 x } + a e^{ \lambda_3 x } \right) + {C_7}'' ( x ) e^{ \lambda_3 x } = 0 \\ \Leftrightarrow {C_7}' ( x ) \left\{ 2 \left( - \dfrac{a}{2} \right) e^{ \lambda_3 x } + a e^{ \lambda_3 x } \right\} + {C_7}'' ( x ) e^{ \lambda_3 x } = 0 \\$

$\therefore {C_7}'' ( x ) = 0$

$C_7 ( x ) = x$ の時、これを満たす。

従って、 $y = x e^{ \lambda_3 x }$ も基本解となり、一般解は、

$\therefore \large y = C_3 e^{- \frac{a}{2} x} + C_4 x e^{- \frac{a}{2} x} \tag{5}$

(iii) (3)式が共役な複素数解 $\lambda_4$ ， $\lambda_5$ を持つ場合、

それぞれ、 $\lambda_4 = \alpha + i \beta$ ， $\lambda_5 = \alpha - i \beta$ と表す。

物理学の世界での応用を考えると、実数の範囲での一般解を求めたい。具体的には $i$ を消去する方法を考える。

この $\lambda_4$ ， $\lambda_5$ をそれぞれ(2)式に代入しオイラーの公式を用いると、

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} z_1 = e ^ { \left( \alpha + i \beta \right) x } = e ^ { \alpha x + i \beta x } = e ^ { \alpha x } e ^ { i \beta x } = e ^ { \alpha x } \left( \cos \beta x + i \sin \beta x \right) \\ z_2 = e ^ { \left( \alpha - i \beta \right) x } = e ^ { \alpha x - i \beta x } = e ^ { \alpha x } e ^ { - i \beta x } = e ^ { \alpha x } \left\{ \cos \left( - \beta x \right) + i \sin \left( - \beta x \right) \right\} = e ^ { \alpha x } \left( \cos \beta x - i \sin \beta x \right) \end{array} \right.$

更に、

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}\left( z_1 + z_2 \right) = e^{\alpha x} \cos \beta x \\ \dfrac{1}{2 i}\left( z_1 - z_2 \right) = e^{\alpha x} \sin \beta x \end{array} \right.$