CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

二次方程式の解

数学・幾何学

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二次方程式の解

\large a x ^ {2} + b x + c = 0 \ \ \ ( a \neq 0 ) \tag{1}
の解を考える。
 
a x ^ {2} + b x + c = 0 \\ \displaystyle \Leftrightarrow x ^ {2} + \dfrac{b}{a} x + \dfrac{c}{a} = 0 \\ \displaystyle \Leftrightarrow x ^ {2} + \dfrac{b}{a} x = - \dfrac{c}{a} \\ \displaystyle \require{color} \Leftrightarrow x ^ {2} + 2 \cdot \dfrac{b}{2 a} x \textcolor{red}{+ \left( \dfrac{b}{2 a} \right) ^{2}} = - \dfrac{c}{a} \textcolor{red}{+ \left( \dfrac{b}{2 a} \right) ^{2}} \\ \displaystyle \Leftrightarrow \left( x + \dfrac{b}{2 a} \right) ^{2} = \dfrac{b^{2} - 4 a c}{ ( 2 a )^{2} }
\displaystyle \therefore x + \dfrac{b}{2 a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}
 
\displaystyle \Leftrightarrow \large x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c }}{2 a} \tag{2}

 

(i) b^{2} - 4 a c が正なら、相異なる2つの実数解をもつ。
(ii) b^{2} - 4 a c = 0 なら、実数の重解 \displaystyle x = - \dfrac{b}{2 a} をもつ。
(iii) b^{2} - 4 a c が負なら、共役な複素数解をもつ。