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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

電磁場テンソル

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電磁場テンソル

準備

次の2式を満たす電磁ポテンシャル \boldsymbol{A} (ベクトル)とスカラー \phi を定義する。
 \boldsymbol{B} \equiv \mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \nabla \times \boldsymbol{A}
 \displaystyle \boldsymbol{E} \equiv - \mathrm{grad} \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} = - \nabla \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t}
また次の四元量を定義する。
 A^{\mu} \equiv \left( \dfrac{\phi}{c} , \boldsymbol{A} \right) = \left( \dfrac{\phi}{c} , A_x , A_y , A_z \right) = \left( A^{0} , A^{1} ,A^{2} , A^{3} \right)
 \displaystyle \partial^{\mu} \equiv \left( \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial}{\partial t} , - \nabla \right) = \left( \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial}{\partial t} , - \dfrac{\partial}{\partial x} , - \dfrac{\partial}{\partial y} , - \dfrac{\partial}{\partial x} \right) = \left( \partial^{0} , \partial^{1} , \partial^{2} , \partial^{3} \right)
また、次のテンソル F^{\mu\nu}を定義する。
 F^{\mu\nu} \equiv \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}
 
これを展開すると、

$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} F^{00} & F^{01} & F^{02} & F^{03} \\ F^{10} & F^{11} & F^{12} & F^{13} \\ F^{20} & F^{21} & F^{22} & F^{23} \\ F^{30} & F^{31} & F^{32} & F^{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial^{0} A^{0} - \partial^{0} A^{0} & \partial^{0} A^{1} - \partial^{1} A^{0} & \partial^{0} A^{2} - \partial^{2} A^{0} & \partial^{0} A^{3} - \partial^{3} A^{0} \\ \partial^{1} A^{0} - \partial^{0} A^{1} & \partial^{1} A^{1} - \partial^{1} A^{1} & \partial^{1} A^{2} - \partial^{2} A^{1} & \partial^{1} A^{3} - \partial^{3} A^{1} \\ \partial^{2} A^{0} - \partial^{0} A^{2} & \partial^{2} A^{1} - \partial^{1} A^{2} & \partial^{2} A^{2} - \partial^{2} A^{2} & \partial^{2} A^{3} - \partial^{3} A^{2} \\ \partial^{3} A^{0} - \partial^{0} A^{3} & \partial^{3} A^{1} - \partial^{1} A^{3} & \partial^{3} A^{2} - \partial^{2} A^{3} & \partial^{3} A^{3} - \partial^{3} A^{3} \end{pmatrix} $$

$$ \displaystyle = \begin{pmatrix} 0 & - \dfrac{E_x}{c} & - \dfrac{E_y}{c} & - \dfrac{E_z}{c} \\ \dfrac{E_x}{c} & 0 & - B_z & B_y \\ \dfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & - B_x \\ \dfrac{E_z}{c} & - B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} $$

 
結論部分の解説をする。
ここで F^{00} = F^{11} = F^{22} = F^{33} = 0 は自明。
また、 F^{01} = - F^{10}  F^{02} = - F^{20}  F^{03} = - F^{30}  F^{12} = - F^{21}  F^{13} = - F^{31}  F^{23} = - F^{32} であることから、
実際は F^{01}  F^{02}  F^{03}  F^{12}  F^{13}  F^{23} だけ求めれば良い。
 \displaystyle F^{01} = - F^{10} = \partial^{0} A^{1} - \partial^{1} A^{0} = \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial A_x}{\partial t} - \left( - \dfrac{\partial }{\partial x} \right) \cdot \dfrac{\phi}{c} = - \dfrac{1}{c} \left( - \dfrac{\partial \phi }{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial t} \right) \\ = - \dfrac{1}{c} \left( - \nabla \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right)_x = - \dfrac{E_x}{c}
 \displaystyle F^{02} = - F^{20} = \partial^{0} A^{2} - \partial^{2} A^{0} = \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial A_y}{\partial t} - \left( - \dfrac{\partial }{\partial y} \right) \cdot \dfrac{\phi}{c} = - \dfrac{1}{c} \left( - \dfrac{\partial \phi }{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial t} \right) \\ = - \dfrac{1}{c} \left( - \nabla \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right)_y = - \dfrac{E_y}{c}
 \displaystyle F^{03} = - F^{30} = \partial^{0} A^{3} - \partial^{3} A^{0} = \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial A_z}{\partial t} - \left( - \dfrac{\partial }{\partial z} \right) \cdot \dfrac{\phi}{c} = - \dfrac{1}{c} \left( - \dfrac{\partial \phi }{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial t} \right) \\ = - \dfrac{1}{c} \left( - \nabla \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right)_z = - \dfrac{E_z}{c}
 \displaystyle F^{12} = - F^{21} = \partial^{1} A^{2} - \partial^{2} A^{1} = - \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \left( - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right) = - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right) = - \left( \nabla \times \boldsymbol{A} \right)_z = - B_z
 \displaystyle F^{13} = - F^{31} = \partial^{1} A^{3} - \partial^{3} A^{1} = - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} - \left( - \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right) = \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} = \left( \nabla \times \boldsymbol{A} \right)_y = B_y
 \displaystyle F^{23} = - F^{32} = \partial^{2} A^{3} - \partial^{3} A^{2} = - \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \left( - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right) = - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right) = - \left( \nabla \times \boldsymbol{A} \right)_x = - B_x