三重根号を外す - CANADA'S WINDVIEW

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三重根号を外す問題は、二重根号を外す問題に帰着させて、二重根号を外す操作を2回行います。

$\sqrt { 9 + 4 \sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } } = \sqrt { 9 + 4 \sqrt { 3 + 1 + 2 \sqrt { 3 \cdot 1 } } } = \sqrt { 9 + 4 \sqrt { ( \sqrt { 3 } + 1 ) ^ 2 } } = \sqrt { 9 + 4 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } \\ = \sqrt { 13 + 2 \sqrt { 12 } } = \sqrt { 12 + 1 + 2 \sqrt { 12 \cdot 1 } } = \sqrt { ( \sqrt { 12 } + 1 ) ^ 2 } = \sqrt { 12 } + 1 = 2 \sqrt { 3 } + 1$

$\sqrt { 13 + 4 \sqrt { 6 - 2 \sqrt { 5 } } } = \sqrt { 13 + 4 \sqrt { 5 + 1 - 2 \sqrt { 5 \cdot 1 } } } = \sqrt { 13 + 4 \sqrt { ( \sqrt { 5 } - 1 ) ^ 2 } } = \sqrt { 13 + 4 ( \sqrt { 5 } - 1 ) } \\ = \sqrt { 9 + 2 \sqrt { 20 } } = \sqrt { 5 + 4 + 2 \sqrt { 5 \cdot 4 } } = \sqrt { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 4 } ) ^ 2 } = \sqrt { 5 } + 2$

$\sqrt { 14 - 2 \sqrt { 16 - 6 \sqrt { 7 } } } = \sqrt { 14 - 2 \sqrt { 16 - 2 \sqrt { 9 \cdot 7 } } } = \sqrt { 14 - 2 \sqrt { 9 + 7 - 2 \sqrt { 9 \cdot 7 } } } \\ = \sqrt { 14 - 2 \sqrt { ( \sqrt { 9 } - \sqrt { 7 } ) ^ 2 } } = \sqrt { 14 - 2 ( 3 - \sqrt { 7 } ) } = \sqrt { 8 + 2 \sqrt { 7 } } = \sqrt { 7 + 1 + 2 \sqrt { 7 \cdot 1 } } \\ = \sqrt { ( \sqrt { 7 } + 1 ) ^ 2 } = \sqrt { 7 } + 1$

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt { 3 + \sqrt { 13 + \sqrt { 48 } } } } = \frac{1}{ \sqrt { 3 + \sqrt { 13 + 2 \sqrt { 12 } } } } = \frac{1}{ \sqrt { 3 + \sqrt { 12 + 1 + 2 \sqrt { 12 \cdot 1 } } } } \\ \displaystyle = \frac{1}{ \sqrt { 3 + \sqrt {( \sqrt { 12 } + 1 ) ^ 2 } } } = \frac{1}{ \sqrt { 3 + \sqrt { 12 } + 1 } } = \frac{1}{ \sqrt { 3 + 1 + 2 \sqrt { 3 \cdot 1 } } } = \frac{1}{ \sqrt { ( \sqrt { 3 } + 1 ) ^ 2 } } \\ \displaystyle = \frac{1}{ \sqrt { 3 } + 1 } = \frac{\sqrt { 3 } - 1}{ ( \sqrt { 3 } + 1 ) ( \sqrt { 3 } - 1 ) } = \frac{\sqrt { 3 } - 1}{ 2 }$

四重根号、五重根号、…、 $n$ 重根号を外す問題というのが仮にあるとすると、二重根号を外す操作をそれぞれ3回、4回、…、 $n - 1$ 回行うということになります。

$\sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 \sqrt { 3+ 4 \sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } } } } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 \sqrt { 3+ 4 \sqrt { 3 + 1 + 2 \sqrt { 3 \cdot 1 } } } } } } \\ = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 \sqrt { 3+ 4 \sqrt { ( \sqrt { 3 } + 1 ) ^ 2 } } } } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 \sqrt { 3+ 4 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } } } } \\ = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 \sqrt { 4 + 3+ 2 \sqrt { 4 \cdot 3 } } } } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 \sqrt { ( \sqrt { 4 } + \sqrt { 3 } ) ^ 2 } } } } \\ = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 5 + 4 ( 2 + \sqrt { 3 } ) } } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 13 + 2 \sqrt { 12 } } } } \\ = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { 12 + 1 + 2 \sqrt { 12 \cdot 1 } } } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 \sqrt { (\sqrt { 12 } + 1 ) ^ 2 } } } \\ = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 11 + 2 (\sqrt { 12 } + 1 ) } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 13 + 2 \sqrt { 12 } } } \\ = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { 12 + 1 + 2 \sqrt { 12 \cdot 1 } } } = \sqrt { 15 + 4 \sqrt { (\sqrt { 12 } + 1 ) ^ 2 } } = \sqrt { 15 + 4 (\sqrt { 12 } + 1 ) } \\ = \sqrt { 19 + 2 \sqrt { 48 } } = \sqrt { 16 + 3 + 2 \sqrt { 16 \cdot 3 } } = \sqrt { (\sqrt { 16 } + \sqrt { 3 } ) ^ 2 } = 4 + \sqrt { 3 }$

二重根号の基本

(i) $a$ ＞ $0$ ， $b$ ＞ $0$ の時、

$\sqrt { a + b + 2 \sqrt { a b } } = \sqrt { ( \sqrt { a } ) ^ 2 + ( \sqrt { b } ) ^ 2 + 2 \sqrt { a } \sqrt { b } } = \sqrt { ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ^ 2 } = \sqrt { a } + \sqrt { b }$

(ii) $a$ ＞ $b$ ＞ $0$ の時、

$\sqrt { a + b - 2 \sqrt { a b } } = \sqrt { ( \sqrt { a } ) ^ 2 + ( \sqrt { b } ) ^ 2 - 2 \sqrt { a } \sqrt { b } } = \sqrt { ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) ^ 2 } = \sqrt { a } - \sqrt { b }$