3乗根を外す問題を作るための素

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例えば、「 $\sqrt[3]{ 3 \sqrt{21} + 8 }$ の3乗根を外せ。」といった問題で、 $\displaystyle \frac{ \sqrt{21} + 1 }{2}$ を導出させます。

1との組み合わせ

複号同順

$( \sqrt{2} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{2}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{2} )^2 + 3 \sqrt{2} \pm 1 = 5 \sqrt{2} \pm 7$

$( \sqrt{3} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{3}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{3} )^2 + 3 \sqrt{3} \pm 1 = 6 \sqrt{3} \pm 10$

$\displaystyle ( \sqrt{5} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{5}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{5} )^2 + 3 \sqrt{5} \pm 1 = 8 \sqrt{5} \pm 16 = 2^3 \cdot ( \sqrt{5} \pm 2 ) \Leftrightarrow \left( \frac{\sqrt{5} \pm 1}{2} \right)^3 = \sqrt{5} \pm 2$

$( \sqrt{6} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{6}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{6} )^2 + 3 \sqrt{6} \pm 1 = 9 \sqrt{6} \pm 19$

$( \sqrt{7} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{7}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{7} )^2 + 3 \sqrt{7} \pm 1 = 10 \sqrt{7} \pm 22$

$( \sqrt{8} \pm 1 ) ^3 = ( 2 \sqrt{2} \pm 1 ) ^3 = ( 2 \sqrt{2} ) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{8} )^2 + 3 \cdot 2 \sqrt{2} \pm 1 = 22 \sqrt{2} \pm 25$

$( \sqrt{10} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{10} ) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{10} )^2 + 3 \sqrt{10} \pm 1 = 13 \sqrt{10} \pm 31$

$( \sqrt{11} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{11} ) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{11} )^2 + 3 \sqrt{11} \pm 1 = 14 \sqrt{11} \pm 34$

$( \sqrt{12} \pm 1 ) ^3 = ( 2 \sqrt{3} \pm 1 ) ^3 = ( 2 \sqrt{3} ) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{12} )^2 + 3 \cdot 2 \sqrt{3} \pm 1 = 30 \sqrt{3} \pm 37$

$\displaystyle ( \sqrt{13} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{13}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{13} )^2 + 3 \sqrt{13} \pm 1 = 16 \sqrt{13} \pm 40 = 2^3 \cdot ( 2 \sqrt{13} \pm 5 ) \Leftrightarrow \left( \frac{\sqrt{13} \pm 1 }{2} \right)^3 = 2 \sqrt{13} \pm 5$

$\displaystyle ( \sqrt{21} \pm 1 ) ^3 = ( \sqrt{21}) ^3 \pm 3 \cdot ( \sqrt{21} )^2 + 3 \sqrt{21} \pm 1 = 24 \sqrt{21} \pm 64 = 2^3 \cdot ( 2 \sqrt{21} \pm 8 ) \Leftrightarrow \left( \frac{\sqrt{21} \pm 1 }{2} \right)^3 = 3 \sqrt{21} \pm 8$

2との組み合わせ

複号同順

$( 2 \pm \sqrt{2} ) ^3 = \{ \sqrt{2} ( \sqrt{2} \pm 1 ) \} ^3 = 2 \sqrt{2} ( 5 \sqrt{2} \pm 7 ) = 20 \pm 14 \sqrt{2}$

$( 2 \pm \sqrt{3} ) ^3 = 2^3 \pm 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot ( \sqrt{3} )^2 \pm ( \sqrt{3} )^3 = 26 \pm 15 \sqrt{3}$

$( \sqrt{5} \pm 2 ) ^3 = ( \sqrt{5} )^3 + 3 \cdot 2 \cdot ( \sqrt{5} )^2 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{5} \pm 2^3 = 17 \sqrt{5} \pm 38$

$( \sqrt{6} \pm 2 ) ^3 = ( \sqrt{6} )^3 + 3 \cdot 2 \cdot ( \sqrt{6} )^2 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{6} \pm 2^3 = 18 \sqrt{6} \pm 44$

$( \sqrt{7} \pm 2 ) ^3 = ( \sqrt{7} )^3 + 3 \cdot 2 \cdot ( \sqrt{7} )^2 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{7} \pm 2^3 = 19 \sqrt{7} \pm 50$

$( \sqrt{10} \pm 2 ) ^3 = ( \sqrt{10} )^3 + 3 \cdot 2 \cdot ( \sqrt{10} )^2 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{10} \pm 2^3 = 22 \sqrt{10} \pm 68$

3との組み合わせ

複号同順

$\left( 3 \pm \sqrt{2} \right) ^3 = 3^3 \pm 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 3 \cdot ( \sqrt{2} )^2 \pm ( \sqrt{2} )^3 = 45 \pm 29 \sqrt{2}$
$\left( 3 \pm \sqrt{3} \right) ^3 = \{ \sqrt{3} ( \sqrt{3} \pm 1 ) \} ^3 = 3 \sqrt{3} ( 6 \sqrt{3} \pm 10 ) = 54 \pm 30 \sqrt{3}$
$\displaystyle \left( 3 \pm \sqrt{5} \right) ^3 = 3^3 \pm 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 3 \cdot ( \sqrt{5} )^2 \pm ( \sqrt{5} )^3 = 72 \pm 32 \sqrt{5} = 2^3 \left( 9 \pm 4 \sqrt{5} \right) \Leftrightarrow \left( \frac{ 3 \pm \sqrt{5} }{2} \right)^3 = 9 \pm 4 \sqrt{5}$
$\left( 3 \pm \sqrt{6} \right) ^3 = 3^3 \pm 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{6} + 3 \cdot 3 \cdot ( \sqrt{6} )^2 \pm ( \sqrt{6} )^3 = 81 \pm 33 \sqrt{6}$
$\left( 3 \pm \sqrt{7} \right) ^3 = 3^3 \pm 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot 3 \cdot ( \sqrt{7} )^2 \pm ( \sqrt{7} )^3 = 90 \pm 34 \sqrt{7}$

$\left( \sqrt{13} \pm 3 \right) ^3 = ( \sqrt{13} )^3 \pm 3 \cdot 3 \cdot ( \sqrt{13} )^2 + 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{13} \pm 3^3 = ( 13 + 27 ) \sqrt{13} \pm 9 \cdot ( 13 + 3 ) = 2^3 \left( 5 \sqrt{13} \pm 18 \right) \\ \displaystyle \Leftrightarrow \left( \frac{ \sqrt{13} \pm 3 }{2} \right)^3 = 5 \sqrt{13} \pm 18$

$\left( \sqrt{21} \pm 3 \right) ^3 = ( \sqrt{21} )^3 \pm 3 \cdot 3 \cdot ( \sqrt{21} )^2 + 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{21} \pm 3^3 = ( 21 + 27 ) \sqrt{21} \pm 9 \cdot ( 21 + 3 ) = 2^3 \left( 6 \sqrt{21} \pm 27 \right) \\ \displaystyle \Leftrightarrow \left( \frac{ \sqrt{21} \pm 3 }{2} \right)^3 = 6 \sqrt{21} \pm 27$