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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

2変数の対称式

数学・幾何学

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2変数の対称式

対称式は基本対称式で表現することができます。

2変数の基本対称式

2変数の基本対称式は次の2つです。2変数の対称式であれば全ての場合においてこの2つの基本対称式の組み合わせで表現することができます。

x + y

x y

2変数の対称式の変形公式

いきなり高次の乗数の和を求めるのは計算量が多くなってしまいますので、2乗、3乗、…と順番に求めていくのが良いです。

2乗の和

\left( x + y \right)^2 = x^2 + 2 x y + y^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = \left( x + y \right)^2 - 2 x y

 

3乗の和

\left( x + y \right)^3 = x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3 = x^3 + y^3 + 3 x y ( x + y ) \Leftrightarrow x^3 + y^3 = ( x + y )^3 - 3 x y ( x + y ) \\ = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^2 - 3 x y   \right\}

 

( x + y ) \left( x^2 + y^2 \right) = x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3 = x^3 + y^3 + x y ( x + y ) \\ \Leftrightarrow x^3 + y^3 = ( x + y ) \left( x^2 + y^2 \right) - x y ( x + y ) = ( x + y ) \left( x^2 + y^2 - x y \right) \\ = ( x + y ) \left(  x^2 + 2 x y + y^2 - 3 x y  \right) = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^2 - 3 x y \right\}

 

4乗の和

\left( x + y \right)^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 = x^4 + y^4 + 4 x y \left(  x^2 + y^2 \right) + 6 ( x y )^2  \\ \Leftrightarrow x^4 + y^4 = ( x + y )^4 - 4 x y \left(  x^2 + y^2 \right) - 6 ( x y )^2 = ( x + y )^4 - 4 x y \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\} - 6 ( x y )^2 \\ = ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 8 ( x y )^2 - 6 ( x y )^2 = ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 2 ( x y )^2

 

\left( x^2 + y^2 \right)^2 = x^4 + 2 x^2 y^2 + y^4 \Leftrightarrow x^4 + y^4 = \left( x^2 + y^2 \right)^2 - 2 ( x y )^2 = \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\}^2 - 2 ( x y )^2 \\ = ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 4 ( x y )^2 - 2 ( x y )^2 = ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 2 ( x y )^2

 

x^4 + y^4 = \left( x^2 \right)^2 + \left( y^2 \right)^2 = \left( x^2 + y^2 \right)^2 - 2 ( x y )^2   = \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\}^2 - 2 ( x y )^2 \\ = ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 4 ( x y )^2 - 2 ( x y )^2 = ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 2 ( x y )^2

 

5乗の和

\left( x + y \right)^5 = x^5 + 5 x^4 y + 10 x^3 y^2 + 10 x^2 y^3 + 5 x y^4 + y^5 = x^5 + y^5 + 5 x y \left( x^3 + y^3 \right) + 10 ( x y )^2 ( x + y ) \\ \Leftrightarrow x^5 + y^5 = \left( x + y \right)^5 - 5 x y \left( x^3 + y^3 \right) - 10 ( x y )^2 ( x + y ) \\ = \left( x + y \right)^5 - 5 x y \left\{ ( x + y )^3 - 3 x y ( x + y ) \right\} - 10 ( x y )^2 ( x + y ) \\ = ( x + y )^5 - 5 x y ( x + y )^3 + 15 ( x y )^2 ( x + y ) - 10 ( x y )^2 ( x + y ) \\ = ( x + y )^5 - 5 x y ( x + y )^3 + 5 ( x y )^2 ( x + y ) =  ( x + y ) \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 5 ( x y )^2 \right\}

 

\left( x^2 + y^2 \right) \left( x^3 + y^3 \right) = x^5 + y^5 + ( x y )^2 ( x + y ) \\ \Leftrightarrow x^5 + y^5 = \left( x^2 + y^2 \right) \left( x^3 + y^3 \right)  - ( x y )^2 ( x + y ) \\ = \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\} ( x + y ) \left\{ ( x + y )^2 - 3 x y \right\} - ( x y )^2 ( x + y ) \\ = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 6 ( x y )^2 \right\} - ( x y )^2 ( x + y ) \\ = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 6 ( x y )^2 - ( x y )^2 \right\} \\ = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 5 ( x y )^2 \right\}

 

6乗の和

x^6 + y^6 = \left( x^2 \right)^3 + \left( y^2 \right)^3 = \left( x^2 + y^2 \right) \left\{ \left( x^2 + y^2 \right)^2 - 3 x^2 y^2 \right\} \\ = \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\} \left[ \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\}^2 - 3 ( x y )^2 \right] \\ = \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\} \left\{ ( x + y )^4 -4 x y ( x + y )^2 + 4 ( x y )^2 - 3 ( x y )^2 \right\} \\ = \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\} \left\{ ( x + y )^4 -4 x y ( x + y )^2 + ( x y )^2 \right\} \\ = ( x + y )^6 - 4 x y ( x + y )^4 + ( x y )^2 ( x + y )^2 - 2 x y ( x + y )^4 + 8 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 2 ( x y )^3 \\ = ( x + y )^6 - 6 x y ( x + y )^4 + 9 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 2 ( x y )^3

 

( x + y )^6 = x^6 + y^6 + 6 x y \left( x^4 + y^4 \right) + 15 ( x y )^2 \left( x^2 + y^2 \right) + 20 ( x y )^3 \\ = x^6 + y^6 + 6 x y \left\{ ( x + y )^4 - 4 x y ( x + y )^2 + 2 ( x y )^2 \right\} + 15 ( x y )^2 \left\{ ( x + y )^2 - 2 x y \right\} + 20 ( x y )^3 \\ = x^6 + y^6 + 6 x y ( x + y )^4 - 24 ( x y )^2 ( x + y )^2 + 12 ( x y )^3 + 15 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 30 ( x y )^3 + 20 ( x y )^3 \\ = x^6 + y^6 + 6 x y ( x + y )^4 - 9 ( x y )^2 ( x + y )^2 + 2 ( x y )^3 \\ \Leftrightarrow x^6 + y^6 =( x + y )^6 - 6 x y ( x + y )^4 + 9 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 2 ( x y )^3  

 

7乗の和

( x + y )^7 = x^7 + y^7 + 7 x y \left( x^5 + y^5 \right) + 21 ( x y )^2 \left( x^3 + y^3 \right) + 35 ( x y )^3 ( x + y ) \\ = ( x + y )^7 - 7 x y \left( x^5 + y^5 \right) - 21 ( x y )^2 \left( x^3 + y^3 \right) - 35 ( x y )^3 ( x + y ) \\ \Leftrightarrow x^7 + y^7 = ( x + y )^7 - 7 x y \left( x^5 + y^5 \right) - 21 ( x y )^2 \left( x^3 + y^3 \right) - 35 ( x y )^3 ( x + y ) \\ = ( x + y )^7 - 7 x y ( x + y ) \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 5 ( x y )^2 \right\} - 21 ( x y )^2 ( x + y ) \left\{ ( x + y )^2 - 3 x y \right\} - 35 ( x y )^3 ( x + y ) \\ = ( x + y ) \left[ ( x + y )^6 - 7 x y \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 5 ( x y )^2 \right\} - 21 ( x y )^2 \left\{ ( x + y )^2 - 3 x y \right\} - 35 ( x y )^3  \right] \\ = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^6 - 7 x y ( x + y )^4 + 35 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 35 ( x y )^3 - 21 ( x y )^2 ( x + y )^2 + 63 ( x y )^3 -35 ( x y )^3 \right\} \\ = ( x + y ) \left\{ ( x + y )^6 - 7 x y ( x + y )^4 + 14 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 7 ( x y )^3 \right\}

 

9乗の和

( x + y )^9 = x^9 + y^9 + 9 x y \left( x^7 + y^7 \right) + 36 x^2 y^2 \left( x^5 + y^5 \right) + 84 x^3 y^3 \left( x^3 + y^3 \right) + 126 x^4 y^4 ( x + y ) \\ = x^9 + y^9 + 3 \cdot 3 x y ( x + y ) \left\{ ( x + y )^6 - 7 x y ( x + y )^4 + 7 ( x y )^2 ( x + y )^2 - 7 ( x y )^3 \right\} \\ + 3 \cdot 12 ( x y )^2 ( x + y ) \left\{ ( x + y )^4 - 5 x y ( x + y )^2 + 5 ( x y )^2 \right\} \\ + 3 \cdot 28 ( x y )^3 ( x + y ) \left\{ ( x + y )^2 - 3 x y \right\}  + 3 \cdot 42 ( x y )^4 ( x + y )