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3変数の対称式

対称式は基本対称式で表現することができます。

3変数の基本対称式

3変数の基本対称式は次の3つです。3変数の対称式であれば全ての場合においてこの3つの基本対称式の組み合わせで表現することができます。

$x + y + z$

$x y + y z + z x$

$x y z$

3変数の対称式の変形公式

$( x + y + z )^2 = \left\{ ( x + y ) + z \right\}^2 = ( x + y )^2 + 2 ( x + y ) z + z^2 = x^2 + 2 x y + y^2 + 2 z x + 2 y z + z^2 \\ \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x )$

$( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) = x \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + y \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + z \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \\ = x^3 + x y^2 + z^2 x + x^2 y + y^3 + y z^2 + z x^2 + y^2 z + z^3 \\ = x^3 + y^3 + z^3 + x y ( x + y + z ) + y z ( x + y + z ) + z x ( x + y + z ) - ( x y z + x y z + x y z ) \\ = x^3 + y^3 + z^3 + \left( x y + y z + z x \right) ( x + y + z ) - 3 x y z \\ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 = ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - ( x + y + z ) \left( x y + y z + z x \right) + 3 x y z \\ = ( x + y + z ) \left\{ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - \left( x y + y z + z x \right) \right\} + 3 x y z \\ = ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) - ( x y + y z + z x ) \right\} + 3 x y z \\ = ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 3 ( x y + y z + z x ) \right\} + 3 x y z$

$x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 = ( x y )^2 + ( y z )^2 + ( z x )^2 \\ = ( x y + y z + z x )^2 -2 ( x y \cdot y z + y z \cdot z x + z x \cdot x y ) = ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z )$