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複素数と四則演算

複素数

$i$ を虚数単位、 $a$ ， $b$ を実数とすると、複素数 $z$ は、

$z = a + b i$

と表せます。

複素数の四則演算

複素数の四則演算を次のように定義します。

$i$ ；虚数単位、 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ；実数

和： $( a + b i ) + ( c + d i ) = a + c + ( b + d ) i$

差： $( a + b i ) - ( c + d i ) = a - c + ( b - d ) i$

積： $( a + b i ) \times ( c + d i ) = a c - b d + ( a d + b c ) i$

商： $\displaystyle \frac{ a + b i }{ c + d i } = \frac{ ( a + b i ) ( c - d i ) }{ ( c + d i ) ( c - d i ) } = \frac{ a c + b d - ( a d - b d ) i }{ c^2 + d^2 } = \frac{a c + b d}{c^2 + d^2} - \frac{a d - b d }{c^2 + d^2} i$

※但し、 $c \pm d i \neq 0$ とする。

これらは $i$ を文字のように扱い、 $i^2$ が出てきたら $- 1$ と置き換えて計算を進めれば、導出できます。

複素共役

複素数 $z = a + b i$ に対して、共役な複素数を

$\bar{z} = \overline{a + b i} = a - b i$

と定義すると、

$\overline { \left( \bar{z} \right) } =\overline { \left( \overline{a + b i} \right) } = \overline { a - b i } = a + b i = z$

となります。

f:id:windview_canada:20211119220803p:plain — 複素平面

複素共役の四則演算

複素数 $z = a + b i$ ， $w = c + d i$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ; 実数)に対して、

$\overline{ z + w} = \overline{ ( a + c ) + ( b + d ) i } = ( a + c ) - ( b + d ) i = a - b i +c - d i = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{ z - w} = \overline{ ( a - c ) + ( b - d ) i } = ( a - c ) - ( b - d ) i = a - b i - ( c - d i ) = \bar{z} - \bar{w}$

$\overline{ z \times w} = \overline{ ( a + b i ) ( c + d i ) } = \overline{ ac - bd + ( ad + bc ) i } = ac - bd - ( ad + bc ) i = ac + bd i^2 - ( ad + bc ) i \\ a ( c - d i ) - b ( c - d i ) i = ( a - b i ) ( c - d i ) = \bar{z} \times \bar{w}$

$\displaystyle \overline{ \left( \frac{z}{w} \right) } = \overline{ \left( \frac{a + b i}{c + d i} \right) } = \overline{ \left( \frac{a c + b d}{c^2 + d^2} - \frac{a d - b d }{c^2 + d^2} i \right) } = \frac{a c + b d}{c^2 + d^2} + \frac{a d - b d }{c^2 + d^2} i = \frac{ ac + bd + ad i - bc i }{c^2 + d^2} \\ \displaystyle = \frac{ ac - bc i + ad i - bd i^2 }{ c^2 - ( d i )^2 } = \frac{ c ( a - b i ) + d ( a - b i ) i }{ ( c + d i ) ( c - d i ) } = \frac{ ( a - b i ) ( c + d i ) }{ ( c + d i ) ( c - d i ) } = \frac{ a - b i }{ c - d i } = \frac{ \bar{z} }{ \bar{w} }$