n進法 - CANADA'S WINDVIEW

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我々は普段 $0$ ～ $9$ の数字を用いて10進法で表現・計算していますが、コンピュータは0と1を用いて2進法で計算しています(結果は10進法に変換して表示します)。また、ウェブサイトの色表現は16進法使用していたりします。古代マヤ文明では20進法を使用していたそうです。
このようなn進法では $0$ から始まり $n-1$ の文字を用いて $n$ まで行くと次の桁に上がります。
具体的には、10進法の $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $8$ ， $9$ ， $10$ ， $11$ ，… は、2進法では、 $0_{(2)}$ ， $1_{(2)}$ ， $10_{(2)}$ ， $11_{(2)}$ ， $100_{(2)}$ ， $101_{(2)}$ ， $110_{(2)}$ ， $111_{(2)}$ ， $1000_{(2)}$ ， $1001_{(2)}$ ， $1010_{(2)}$ ， $1011_{(2)}$ ，… と表現できます。

演習

2進数から10進数への変換

$101_{(2)} = 2^{2} \cdot 1 + 2^{0} \cdot 1 = 4 + 1 = 5$

$1100_{(2)} = 2^{3} \cdot 1 + 2^{2} \cdot 1 = 8 + 4 = 12$

$10111_{(2)} = 2^{4} \cdot 1 + 2^{3} \cdot 0 + 2^{2} \cdot 1 + 2^{1} \cdot 1 + 2^{0} \cdot 1 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23$

2進数の和

2進数のまま四則演算を行うことができます。

$101_{(2)} + 1100_{(2)} = 10001_{(2)} = 2^{4} \cdot 1 + 2^{0} \cdot 1 = 16 + 1 = 17$

2進数の差

$1100_{(2)} - 101_{(2)} = 111_{(2)} = 2^{2} \cdot 1 + 2^{1} \cdot 1 + 2^{0} \cdot 1 = 4 + 2 + 1 = 7$

2進数の乗法

10進法と同様に筆算で行えば良いです。

$111_{(2)} \times 11_{(2)} = 10101_{(2)} = 2^{4} \cdot 1 + 2^{2} \cdot 1 + 2^{0} \cdot 1 = 21$

10進数から2進数への変換

例

$99$ を2進数へ変換することを考えます。
$99$ から取れる最大の $2^m$ は、 $m = 6$ の $2^6 = 64$ です。
次に $99 - 64 = 35$ から取れる最大の $2^m$ は、 $m=5$ の $2^5=32$ です。
更に $35-32=3$ から取れる最大の $2^m$ は、 $m=1$ の $2^1=2$ です。
$3-2=1$ から取れる最大の $2^m$ は、 $m=0$ の $2^0=1$ です。
以上より、