極限の問題演習 - CANADA'S WINDVIEW

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]

数列の極限値の性質

数列 $\{ a_n \}$ ， $\{ b_n \}$ について、 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \alpha$ ， $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n = \beta$ の時、次の性質が成り立ちます。

(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } k a_n = k \alpha$ ( $k$ ; 定数)

(2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ( a_n \pm b_n ) = \alpha \pm \beta$ (複合同順)

(3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n b_n = \alpha \beta$

(4) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}$ (但し $\beta \neq 0$ )

関数の極限の性質

関数 $f ( x )$ に於いて、 $x$ が $a$ と異なる値を取りながら限りなく $a$ に近付く時、 $f ( x )$ の値が一定の値 $\alpha$ に近付くならば、 $\displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) = \alpha$ と表し、 $\alpha$ を $x \rightarrow a$ の時の $f ( x )$ の極限値と言います。

$\displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) = \alpha$ ， $\displaystyle \lim_{ x \to a } g ( x ) = \beta$ の時、数列の極限と同様に次の4つの基本的性質が成り立ちます。

(1) $\displaystyle \lim_{ x \to a } k f ( x ) = k \alpha$ ( $k$ ; 定数)

(2) $\displaystyle \lim_{ x \to a } \left\{ f ( x ) \pm g ( x ) \right\} = \alpha \pm \beta$ (複合同順)

(3) $\displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) g ( x ) = \alpha \beta$

(4) $\displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f ( x )}{ g ( x ) } = \frac{\alpha}{\beta}$ (但し $\beta \neq 0$ )

また、 $f ( x )$ が整式の関数や分数関数、無理関数、指数関数、対数関数、三角関数である時、 $a$ が定義域に属するなら、
$\displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) = f ( a )$
が成り立ち、これを「関数の連続性」と言います。

この関数の連続性が成り立つ条件下で関数 $f ( x )$ の導関数 $f ' ( x )$ は
$\displaystyle f ' ( x ) = \lim_{ h \to 0 } \frac{ f ( x + h ) - f ( x ) }{ h }$
と極限で定義されます。

極限の公式

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac {1}{n}} = 0$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac {1}{3^n}} = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac {\sin x}{x}} = 1$

$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \left( 1 - \cos x \right) \left( 1 + \cos x \right) }{x^2 \left( 1 + \cos x \right) } = \lim_{ x \to 0 } \frac{ 1 - \cos^2 x }{x^2 \left( 1 + \cos x \right) } = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin^2 x }{x^2 \left( 1 + \cos x \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ \sin x }{ x } \right)^2 \cdot \frac{ 1 }{ 1 + \cos x } = 1^2 \cdot \frac{ 1 }{ 1 + 1 } = \frac{ 1 }{ 2 }$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac {\tan x}{x}} = \lim_{x \to 0} {\frac {\sin x}{x} \cdot \frac {1}{\cos x} } = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

ネイピアス数 $e$ の定義は

$\displaystyle e = \lim_{t \to 0} ( 1 + t )^{\frac {1}{t}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{n} \right)^n$

関数 $\displaystyle ( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}}$ で $e$ を底とする対数を取ると、
$\displaystyle \log {( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}}} = \frac{\log ( 1 + x )}{x}$
よって、
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\log ( 1 + x )}{x} = \lim_{ x \to 0 } \log { ( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}} } = \log e = 1$

ここで、 $\log ( 1 + x ) = h$ と置くと、 $h = h \log e = \log e^h$ より、 $1 + x = e^h \Leftrightarrow x = e^h - 1$ で、

$x \rightarrow 0$ の時、 $h = \log ( 1 + x ) \rightarrow \log 1 = 0$ となり、
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ e^h - 1}{h} = \lim_{ x \to 0 } \frac{ x }{ \log ( 1 + x ) } = \lim_{ x \to 0 } \frac{1}{\dfrac{ \log ( 1 + x ) }{ x }} = \frac{1}{1} = 1$

演習

$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{ x^{12} - 1 }{ x^{20} - 1 } = \lim_{ x \to 1 } \frac{ ( x- 1 ) \left( x^{11} + x^{10} + \cdots + x + 1 \right) }{ ( x - 1 ) \left( x^{19} + x^{18} + x^{17} \cdots + x + 1 \right) } = \lim_{ x \to 1 } \frac{ x^{11} + x^{10} + \cdots + x + 1 }{ x^{19} + x^{18} + x^{17} \cdots + x + 1 } = \frac{ 12 }{ 20 } = \frac{ 3 }{ 5 }$

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{8 n^2 + 5 n - 6}{2 n^2 - 10 n + 4 } = \lim_{ n \to \infty } \frac{8 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{6}{n^2} }{2 - \dfrac{10}{n} + \dfrac{4}{n^2} } = \frac{8 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = 4$

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{3^{n - 2} - 2^{2 n + 1} }{5 + 2^{2 n -1}} = \lim_{ n \to \infty } \frac{\dfrac{3^n}{9} - 2 \cdot 4^n }{5 + \dfrac{4^n}{2} } = \lim_{ n \to \infty } \frac{\dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^n - 2 }{5 \cdot \dfrac{1}{4^n} + \dfrac{1}{2} } = \frac{0 - 2}{ 0 + \dfrac{1}{2}} = -4$

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{\sqrt{ 4 n^2 - 3 n } - 2 \sqrt{ n^2 + 1 } }{ \sqrt{ 9 n^2 + n } - 3 n } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } - 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } - 3 n \right) \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left\{ \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } \right)^2 - \left( 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right)^2 \right\} \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ \left\{ \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } \right)^2 - \left( 3 n \right)^2 \right\} \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left\{ 4 n^2 - 3 n - \left( 4 n^2 + 4 \right) \right\} \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ \left( 9 n^2 + n - 9 n^2 \right) \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left( -3 n - 4 \right) \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ n \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \left( -3 - \dfrac{ 4 }{ n } \right) \left( \sqrt{ 9 + \dfrac{ 1 }{ n } } + 3\right) }{ \sqrt{ 4 - \dfrac{ 3 }{ n } } + 2 \sqrt{ 1 + \dfrac{ 1 }{ n^2 } } } = \frac{ \left( -3 - 0 \right) \left( \sqrt{ 9 + 0 } + 3 \right) }{ \sqrt{ 4 - 0 } + 2 \sqrt{ 1 + 0 } } = - \frac{9}{2}$

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } }{ \displaystyle \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} k^3 } - \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } } = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \displaystyle \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} k^3 } + \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right) }{ \left( \displaystyle \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} k^3 } - \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right) \left( \displaystyle \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} k^3 } + \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left\{ \sqrt{ \dfrac{ n^2 ( n + 1 )^2 }{ 4 } } + \sqrt{ \dfrac{ ( n - 1 )^2 n^2 }{ 4 } } \right\} }{ \displaystyle \left( \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} k^3 } \right)^2 - \left( \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right)^2 } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left[ \dfrac{ n }{ 2 } \left\{ \sqrt{ ( n + 1 )^2 } + \sqrt{ ( n - 1 )^2 } \right\} \right] }{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \dfrac{ n }{ 2 } \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \sqrt{ n^2 + 2 n + 1 } + \sqrt{ n^2 -2 n + 1 } \right) }{ 1^3 + 2^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 + n^3 - \left\{ 1^3 + 2^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 \right\} } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ n \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \sqrt{ n^2 + 2 n + 1 } + \sqrt{ n^2 -2 n + 1 } \right) }{ 2 n^3 } \\ \displaystyle = \lim_{ \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \sqrt{ n^2 + 2 n + 1 } + \sqrt{ n^2 - 2 n + 1 } \right) }{ 2 n^2 } \\ \displaystyle = \lim_{ \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 - \dfrac{ 13 }{ n } + \dfrac{ 5 }{ n^2 } } \left( \sqrt{ 1 + \dfrac{ 2 }{ n } + \dfrac{ 1 }{ n^2 } } + \sqrt{ 1 - \dfrac{ 2 }{ n } + \dfrac{ 1 }{ n^2 } } \right) }{ 2 } = \frac{ \sqrt{ 9 - 0 + 0 } \left( \sqrt{ 1 + 0 + 0 } + \sqrt{ 1 - 0 + 0 } \right) }{ 2 } \\ \displaystyle = 3$

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } n \left\{ \log ( n + 4 ) - \log n \right\} = \lim_{ n \to \infty } n \log \left( \frac{ n + 4 }{ n } \right) = \lim_{ n \to \infty } n \log \left( 1 + \frac{ 4 }{ n } \right) = \lim_{ n \to \infty } \log \left( 1 + \frac{ 4 }{ n } \right)^n$

ここで、 $\displaystyle \frac{ n }{ 4 } = m$ と置くと、 $n \to \infty$ の時 $m \to \infty$ ．

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \log \left( 1 + \frac{ 4 }{ n } \right)^n = \lim_{ m \to \infty } \log \left( 1 + \frac{ 1 }{ m } \right)^{4 m} = \lim_{ m \to \infty } 4 \log \left( 1 + \frac{ 1 }{ m } \right)^{m} = 4 \log e = 4$

$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } ( 1 - 3 x )^{\frac{2}{x}}$
$t = - 3 x$ と置くと、 $x \rightarrow 0$ の時 $t \rightarrow 0$ ．
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } ( 1 - 3 x )^{\frac{2}{x}} = \lim_{ t \to 0 } ( 1 + t )^{- \frac{6}{t}} = \lim_{ t \to 0 } \left\{ ( 1 + t )^{ \frac{1}{t}} \right\}^{- 6} = e^{- 6} = \frac{1}{e^6}$