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点と直線の距離

$xy$ 平面上の直線(1) $a x + b y + c = 0$ と点 $P ( x_0 , y_0 )$ の距離 $d$ を求めます。(但し、 $a^2 + b^2 \neq 0$ )

f:id:windview_canada:20211219224931p:plain — 点と直線の距離

直線(1)の法線ベクトルの一つは $\overrightarrow{n} = ( a , b )$ なので、

直線(1)に垂直で点 $P$ を通る直線(2) の方程式は、

$\displaystyle y - y_0 = \frac{b}{a} ( x - x_0 ) \Leftrightarrow b ( x - x_0 ) = a ( y - y_0 ) \Leftrightarrow b x - a y - ( b x_0 - a y_0 ) = 0$

となります。

直線(1)と直線(2)の連立方程式を解くと( $(1) \times a + (2) \times b$ と $(1) \times b + (2) \times ( - a )$ で解けます)、直線(1)と直線(2)の交点 $Q$ の座標は、

$\displaystyle Q \left( \frac{b( b x_0 - a y_0 ) - ca}{a^2 + b^2} , \frac{- a ( b x_0 - a y_0 ) - bc }{a^2 + b^2} \right)$

と求まります。

これより、

$\displaystyle d = PQ = \sqrt{ \left\{ \frac{b( b x_0 - a y_0 ) - ca}{a^2 + b^2} - x_0 \right\}^2 + \left\{ \frac{- a ( b x_0 - a y_0 ) - bc }{a^2 + b^2} - y_0 \right\}^2 } \\ \displaystyle = \sqrt{ \left\{ \frac{ b( b x_0 - a y_0 ) - ca - ( a^2 + b^2 ) x_0 }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 + \left\{ \frac{ - a ( b x_0 - a y_0 ) - bc - ( a^2 + b^2 ) y_0 }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 } \\ \displaystyle = \sqrt{ \left\{ \frac{ -a^2 x_0 - a b y_0 - c a }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 + \left\{ \frac{ - a b x_0 - b^2 y_0 - bc }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 } \\ \displaystyle = \sqrt{ \left\{ \frac{ -a ( x_0 + b y_0 + c ) }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 + \left\{ \frac{ - b ( a x_0 + b y_0 + c ) }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 } = \sqrt{ \frac{ \left( a^2 + b^2 \right) \left( a x_0 + b y_0 + c \right)^2 }{ \left( a^2 + b^2 \right)^2 } } \\ \displaystyle = \sqrt{ \frac{ \left( a x_0 + b y_0 + c \right)^2 }{ a^2 + b^2 } } = \frac{ | a x_0 + b y_0 + c | }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } }$