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累乗の和 - 九乗和の公式

数学・幾何学

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累乗の和 - 九乗和の公式

九乗和の公式の導出です。

 

k^5 ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 k^5 \tag{1}

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

k^5 ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 k^5 = k^5 \left\{ ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 \right\} \\ \displaystyle = k^5 \left\{ k^5 + 5 k^4 + 10 k^3 + 10 k^2 + 5 k + 1 - \left( k^5 - 5 k^4 + 10 k^3 - 10 k^2 - 5 k + 1 \right)  \right\} \\ \displaystyle = k^5 \left( 10 k^4 + 20 k^2 + 2 \right)
= 2 k^5 \left( 5 k^4 + 10 k^2 + 1 \right) \tag{2}

(1)の和を考えると、
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k^5 ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 k^5 \right\}} = \sum_{k=1}^{n} { k^5 ( k + 1 )^5 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^5 k^5 } \\ \displaystyle = 1^5 \cdot 2^5 + 2^5 \cdot 3^5 + \cdots + ( n - 1 )^5 n^5 + n^5 ( n + 1 )^5 - \left\{ 0^5 \cdot 1^5 + 1^5 \cdot 2^5 + \cdots + ( n - 2 )^5 ( n - 1 )^5 + ( n - 1 )^5 n^5 \right\}
= n^5 ( n + 1 )^5 \tag{3}

これと、(2)の和が等しいので、

  \displaystyle n^5 ( n + 1 )^5 = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 2 k^5 \left( 5 k^4 + 10 k^2 + 1 \right) \right\} } = \sum_{k=1}^{n} { 10 k^9 + 20 k^7 + 2 k^5 } = 10 \sum_{k=1}^{n} { k^9 } + 20 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } + 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 }
\displaystyle \Leftrightarrow 10 \sum_{k=1}^{n} { k^9 } = n^5 ( n + 1 )^5 - 20 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } \tag{4}

これと七乗和、五乗和の公式より、

\displaystyle 10 \sum_{k=1}^{n} { k^9 } = n^5 ( n + 1 )^5 - 20 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } \\ \displaystyle = n^5 ( n + 1 )^5 - 20 \cdot \left\{ \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \right\} - 2 \cdot \left\{ \frac{1}{12} { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = n^5 ( n + 1 )^5 - \frac{ 5 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) - \frac{ 1 }{ 6 } { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right)  \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 6 n^3 ( n + 1 )^3 - 5 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) - \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 6 n^6 + 18 n^5 + 18 n^4 + 6 n^3 - 15 n^4 - 30 n^3 + 5 n^2 + 20 n - 10 - 2 n^2 - 2 n + 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 6 n^6 + 18 n^5 + 3 n^4 - 24 n^3 + 3 n^2 + 18 n - 9 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^6 + 6 n^5 + n^4 - 8n^3 + n^2 + 6 n - 3 \right)

\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^9 } = \frac{ 1 }{ 20 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^6 + 6 n^5 + n^4 - 8 n^3 + n^2 + 6 n - 3 \right) \tag{5}