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累乗の和 - 三乗和の公式(2)

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累乗の和 - 三乗和の公式(2)

三乗和の公式の導出です。

 

 k^2 ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 k^2 \tag{1}

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

 k^2 ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 k^2 = k^2 \left\{ ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 \right\} \\ \displaystyle = k^2 \left\{ k^2 + 2 k + 1 - ( k^2 - 2 k + 1 ) \right\} = k^2 \cdot 4 k
  = 4 k^3 \tag{2}

(1)の和を考えると、
 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k^2 ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 k^2 \right\}} = \sum_{k=1}^{n} { k^2 ( k + 1 )^2 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^2 k^2 } \\ \displaystyle = 1^2 \cdot 2^2 + 2^2 \cdot 3^2 + \cdots + ( n - 1 )^2 n^2 + n^2 ( n + 1 )^2 - \left\{ 0^2 \cdot 1^2 + 1^2 \cdot 2^2 + \cdots + ( n - 2 )^2 ( n - 1 )^2 + ( n - 1 )^2 n^2 \right\}
 = n^2 ( n + 1 )^2 \tag{3}

これと、(2)の和が等しいので、
 \displaystyle n^2 ( n + 1 )^2 = \sum_{k=1}^{n} { \left( 4 k^3 \right) } = 4 \sum_{k=1}^{n} { k^3 }
 \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 )  \right\}^2 \tag{4}