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累乗の和 - 三乗和の公式(3)

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累乗の和 - 三乗和の公式(3)

三乗和の公式の導出です。

 

 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \tag{1}

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \left\{ ( k + 3 ) - ( k - 1 ) \right\} 
  = 4 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = 4 \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right)  \tag{2}

(1)の和を考えると、
 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \right\}} \\ \displaystyle =  \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) \right\}  } - \sum_{k=1}^{n} { \left\{ ( k - 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \right\}  } \\ \displaystyle = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) \\ \displaystyle - \left\{ 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots + ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \right\}
 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) \tag{3}

これと、(2)の和が等しいので、

 \displaystyle n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 4 \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) \right\} } = 4 \sum_{k=1}^{n} { \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) } \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) =  \sum_{k=1}^{n} { \left( k^3 + 3 k^2 + 2 k \right) } = \sum_{k=1}^{n} { k^3 } + 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } + 2 \sum_{k=1}^{n} { k }
 \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{4}

これと、三乗和、二乗和の公式より、

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k } \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 3 \left\{ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\} - 2\left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - n ( n + 1 ) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left\{ ( n + 2 ) ( n + 3 ) - 2 ( 2 n + 1 ) - 4 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left( n^2 + 5 n + 6 - 4 n - 2 - 4 \right) = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left( n^2 + n \right)
 \displaystyle = \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^2 \tag{5}