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累乗の和 - 二乗和の公式(2)

二乗和の公式の導出です。

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k ( k + 1 ) ( k + 2 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) \left\{ ( k + 2 ) - ( k - 1 ) \right\}$
$= 3 k ( k + 1 ) = 3 \left( k^2 + k \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k ( k + 1 ) ( k + 2 ) - ( k - 1 ) k ( k + 1 ) \right\} } = \sum_{k=1}^{n} { k ( k + 1 ) ( k + 2 ) } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 ) k ( k + 1 ) } \\ \displaystyle = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \\ \displaystyle - \left\{ 0 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + \cdots + ( n - 2 ) ( n - 1 ) n + ( n - 1 ) n ( n + 1 ) \right\}$
$= n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 3 \left( k^2 + k \right) \right\} } = 3 \sum_{k=1}^{n} { \left( k^2 + k \right) } \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = \sum_{k=1}^{n} { \left( k^2 + k \right) } = \sum_{k=1}^{n} { k^2 } + \sum_{k=1}^{n} { k }$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^2 } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) - \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{4}$

更に展開していくと、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2 } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) - \sum_{k=1}^{n} { k } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n + 2 ) - \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 2 ( n + 2 ) - 3 \right\} = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 4 - 3 ) = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )$
$\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n} { k^2 } = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \tag{5}$