CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

点と直線の距離(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| | | 数学・幾何学| 寺院| | 祭り| 鉄道| | 風力発電]

点と直線の距離(2)

 xy 平面上の直線(1)  a x + b y + c = 0 と点 P ( x_0 , y_0 ) の距離 d を求めます。

 a^2 + b^2 \neq 0 の条件で、

 \displaystyle a x + b y + c = 0 \Leftrightarrow b y = - a x - c \Leftrightarrow y = - \frac{ a }{ b } x - \frac{ c }{ b }

 

f:id:windview_canada:20220103204425p:plain

点と直線の距離 (2)

 

 P ( x_0 , y_0 ) を通り直線(1) に平行な直線(2) を考えると、直線(2) の方程式は、

 \displaystyle a ( x - x_0 ) + b ( y - y_0 ) = 0 \Leftrightarrow b ( y - y_0 ) = - a ( x - x_0 ) \Leftrightarrow y - y_0 = -  \frac{ a }{ b } ( x - x_0 ) = - \frac{ a }{ b } x + \frac{ a }{ b } x_0 \\ \displaystyle \Leftrightarrow y = - \frac{ a }{ b } x + \frac{ a }{ b } x_0 + y_0

また、点 P から直線(1) に降ろした垂線と直線(1) との交点を Q ,直線(1) と y軸との交点を H ,直線(2) と y軸との交点を P ' ,更に点 P ' から直線(1) に降ろした垂線と直線(1) との交点を Q ' とそれぞれ置いていく。

そうすると、

 d = P Q = P ' Q '  

であり、

 \displaystyle P ' H = \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 - \left( - \frac{ c }{ b } \right) \right| = \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 + \frac{ c }{ b } \right|  

ところで、直線(1) の傾きは、 \displaystyle - \frac{ a }{ b } なので、図のような直角三角形 ABC を考えることができる。

この時、

 \triangle{ABC} \sim \triangle{Q'P'H}

なので、 \displaystyle BC = \sqrt{ a^2 + b^2 } を考慮して、

 \displaystyle AB : BC = Q'P' : P'H \Leftrightarrow | b | : \sqrt{ a^2 + b^2 } = d : \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 + \frac{ c }{ b } \right| \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot d = | b | \cdot \left| \frac{ a }{ b } x_0 + y_0 + \frac{ c }{ b } \right| = | a x_0 + b y_0 + c  |

 \displaystyle \Leftrightarrow d = \frac{| a x_0 + b y_0 + c  |}{\sqrt{ a^2 + b^2}}