カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]

ベクトルの内積の成分表示

余弦定理の導出(証明)のページで $\triangle{ABC}$ を考えた時に次の関係式が成り立つことが判っています。

$| \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{AC} |^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \tag{1}$

2次元(平面)に於けるベクトルの内積の成分表示

$\displaystyle \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} = \left( \begin{array}{ccc} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$ , $\displaystyle \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} = \left( \begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)$ と置くと、

$\displaystyle \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \left( \begin{array}{ccc} c_1 - b_1 \\ c_2 - b_2 \end{array} \right)$ なので、(1)式に代入すると、

$\left( c_1 - b_1 \right)^2 + \left( c_2 - b_2 \right)^2 = b_1^2 + b_2^2 + c_1^2 + c_2^2 - 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} \\ \displaystyle \Leftrightarrow c_1^2 - 2 b_1 c_1 + b_1^2 + c_1^2 - 2 b_2 c_2 + b_2^2 = b_1^2 + b_2^2 + c_1^2 + c_2^2 - 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2 b_1 c_1 + 2 b_2 c_2$
$\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \left( \begin{array}{ccc} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) = b_1 c_1 + b_2 c_2 \tag{2}$

となり、内積の成分表示が得られます。

3次元(空間)に於けるベクトルの内積の成分表示

3次元でも同様です。

$\displaystyle \overrightarrow{AB} = \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right)$ ， $\displaystyle \overrightarrow{AC} = \left( \begin{array}{ccc} C_x \\ C_y \\ C_z \end{array} \right)$ と置くと、

$\displaystyle \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \left( \begin{array}{ccc} C_x - B_x \\ C_y - B_y \\ C_z - B_z \end{array} \right)$ なので、(1)式に代入すると、

$\left( C_x - B_x \right)^2 + \left( C_y - B_y \right)^2 + \left( C_z - B_z \right)^2 = B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 + C_x^2 + C_y^2 + C_z^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\ \displaystyle \Leftrightarrow C_x^2 - 2 B_x C_x + B_x^2 + C_y^2 - 2 B_y C_y + B_y^2 + C_z^2 - 2 B_z C_z + B_z^2 \\ = B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 + C_x^2 + C_y^2 + C_z^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 B_x C_x + 2 B_y C_y + 2 B_z C_z$

$\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} C_x \\ C_y \\ C_z \end{array} \right) = B_x C_x + B_y C_y + B_z C_z \tag{3}$