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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

ベクトルの大きさ

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ベクトルの大きさ;  \left| \displaystyle \overrightarrow{a} \right|

ベクトルの内積の定義より、

 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{a} | \cos 0 = | \overrightarrow{a} |^2  \tag{1}

 

 | \overrightarrow{a} |  \geq 0 より、

  \sqrt{ | \overrightarrow{a} |^2 } = \sqrt{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} }

 \therefore | \overrightarrow{a} | = \sqrt{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} } \tag{2}

 

 \displaystyle \overrightarrow{a} = \left( \begin{array}{ccc} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) と置くと、

 \displaystyle | \overrightarrow{a} | = \sqrt{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} } = \sqrt{ \left( \begin{array}{ccc} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) } = \sqrt{ a_1^2 + a_2^2 }

よって、 \overrightarrow{a} の大きさ | \overrightarrow{a} | は、

  | \overrightarrow{a} | = \sqrt{ a_1^2 + a_2^2 } \tag{3}

 

3次元(空間)でも同様に、 \displaystyle \overrightarrow{A} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) と置くと、

 \displaystyle | \overrightarrow{A} | = \sqrt{ \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} } = \sqrt{ \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) } = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 }

となり、 \overrightarrow{A} の大きさ | \overrightarrow{A} | は、

  | \overrightarrow{A} | = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 } \tag{4}

 

となります。

 

(1)とベクトルの分配法則、交換法則、結合法則より、次のような展開ができます。

 | \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} |^2 = \left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \right) \cdot \left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \right) = \left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \right) \cdot  \overrightarrow{c} + \left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \right) \cdot \left( - \overrightarrow{b} \right) \\ = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \cdot \left( - \overrightarrow{b} \right) + \left( - \overrightarrow{b} \right) \cdot \left( - \overrightarrow{b} \right) \\ = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{b}  |^2 + | \overrightarrow{c}  |^2 - 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}
 \therefore | \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} |^2 = | \overrightarrow{b}  |^2 + | \overrightarrow{c}  |^2 - 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} \tag{5}

これは則ち余弦定理そのものです。