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正二十面体の体積を求める(GeoGebra)

一辺の長さが $a$ の正二十面体の体積 $V$ を求めることを考えます。

まずは、一辺の長さが $2$ の正二十面体 $ABCDEFGHIJKL$ を描きます。座標は次の通り。

$z = 0$ の平面上に、点 $A$ $\left( 1, \phi , 0 \right)$ ，点 $B$ $\left( - 1, \phi , 0 \right)$ ，点 $C$ $\left( - 1, - \phi , 0 \right)$ ，点 $D$ $\left( - 1, - \phi , 0 \right)$ ．

$x = 0$ の平面上に、点 $E$ $\left( 0, 1 , \phi \right)$ ，点 $F$ $\left( 0, - 1 , \phi \right)$ ，点 $G$ $\left( 0, - 1 , - \phi \right)$ ，点 $H$ $\left( 0, 1 , - \phi \right)$ ．

$y = 0$ の平面上に、点 $I$ $\left( \phi, 0, 1 \right)$ ，点 $J$ $\left( \phi, 0, - 1 \right)$ ，点 $K$ $\left( - \phi, 0, - 1 \right)$ ，点 $L$ $\left( - \phi, 0, 1 \right)$ ．

(但し、 $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ )

この正二十面体 $ABCDEFGHIJKL$ の体積を $V '$ としておきます。

原点 $O$ と正二十面体の一つの面の正三角形の頂点を結んでできる四面体を正二十面体 $ABCDEFGHIJKL$ から切り出していくと、合同な正四面体が20個切り出せます。

原点 $O$ と正二十面体の一つの面の正三角形までの距離が全て同じであることが図形の対称性から明らかであることと、そもそも二十面ある正三角形が全て合同であることから即座に証明できます。

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→ 立体で表示してみる

これを踏まえて四面体 $OABE$ の体積 $V_0$ を求めて行きます。予め点 $E$ から $z = 0$ の平面に降ろした垂線の足を点 $P$ $\left( 0, 1 , 0 \right)$ と置いておきます。

四面体 $OABE$ の底面の $\triangle OAB$ の面積 $S_{OAB}$ は、

$\displaystyle S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \phi = \phi$

これより四面体 $OABE$ の体積 $V_0$ は、

$\displaystyle V_0 = \frac{1}{3} \cdot S_{OAB} \cdot \phi = \frac{\phi ^2}{3}$

この20倍が正二十面体 $ABCDEFGHIJKL$ の体積となります。

$\displaystyle V ' = 20 V_0 = \frac{20}{3} \phi ^2$

更に一般的に一辺の長さが $a$ の正二十面体の体積 $V$ を考えると、

一辺の長さは $\displaystyle \frac{a}{2}$ 倍となるため、体積は $\displaystyle \left( \frac{a}{2} \right)^3$ 倍となります。

従って、求める体積 $V$ は、

$\displaystyle V = \left( \frac{a}{2} \right)^{3} V' = \left( \frac{a}{2} \right)^{3} \cdot \frac{20}{3} \phi ^2 = \frac{5}{6} \phi ^2 a^3 = \frac{5}{6} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{2} a^3 = \left( \frac{15 + 5 \sqrt{5}}{12} \right) a^3$