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正十二面体の体積を求める(GeoGebra)

黄金比 $\phi$ の処理

黄金比 $\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ は、

二次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の正の解なので、

$\phi^2 - \phi - 1 = 0 \tag{1}$

が成り立ちます。

これより、

$\phi^2 = \phi + 1 \tag{2}$

$\phi^3 = \phi^2 \cdot \phi = ( \phi + 1 ) \phi = \phi ^2 + \phi = \phi + 1 + \phi = 2 \phi + 1 \tag{3}$

$\phi^4 = \left( \phi^2 \right)^2 = \left( \phi + 1 \right)^2 = \phi^2 + 2 \phi + 1 = \phi + 1 + 2 \phi + 1 = 3 \phi + 2 \tag{4}$

また、(2)の両辺を $\phi$ で割って、

$\displaystyle \phi^{-1} = \frac{1}{\phi} = \phi - 1 \tag{5}$

更に、

$\displaystyle 1 - \frac{1}{\phi} = 1 - ( \phi - 1 ) = 2 - \phi \tag{6}$

と順番に導けます。

これらの関係式を活用して次数下げのようなことを行っていくと、ルートの有理化の計算が最小限に減らせて計算ミスも減らせます。

正十二面体の描画と分割

正十二面体を描画するに当たり、座標は、
$z = 1$ の平面上に、点 $A_1$ $\left( 1, 1, 1 \right)$ ，点 $A_2$ $\left( -1, 1, 1 \right)$ ，点 $A_3$ $\left( -1, -1, 1 \right)$ ，点 $A_4$ $\left( 1, -1, 1 \right)$ ．
$z = -1$ の平面上に、点 $A_5$ $\left( 1, 1, -1 \right)$ ，点 $A_6$ $\left( -1, 1, -1 \right)$ ，点 $A_7$ $\left( -1, -1, -1 \right)$ ，点 $A_8$ $\left( 1, -1, -1 \right)$ ．
$z = 0$ の平面上に、点 $B_1$ $\left( \phi, \phi^{-1}, 0 \right)$ ，点 $B_2$ $\left( -\phi, \phi^{-1}, 0 \right)$ ，点 $B_3$ $\left( -\phi, -\phi^{-1}, 0 \right)$ ，点 $B_4$ $\left( \phi, - \phi^{-1}, 0 \right)$ ．
$x = 0$ の平面上に、点 $C_1$ $\left( 0, \phi, \phi^{-1} \right)$ ，点 $C_2$ $\left( 0, -\phi, \phi^{-1} \right)$ ，点 $C_3$ $\left( 0, -\phi, -\phi^{-1} \right)$ ，点 $C_4$ $\left( 0, \phi, - \phi^{-1} \right)$ ．
$y = 0$ の平面上に、点 $D_1$ $\left( \phi^{-1}, 0, \phi \right)$ ，点 $D_2$ $\left( \phi^{-1}, 0, -\phi \right)$ ，点 $D_3$ $\left( -\phi^{-1}, 0, -\phi \right)$ ，点 $D_4$ $\left( - \phi^{-1}, 0, \phi \right)$ ．
を取ります。

この正十二面体の一辺の長さは、 $2 \phi^{-1}$ で、この正十二面体の体積を $V'$ と置きます。

正十二面体は、1つの立方体と6つの屋根型五面体に分割することができます。

→ 立体で表示してみる

立方体の体積を $V_c$ とし、屋根型五面体の一つの体積を $V_r$ と置くと、

$V' = V_c + 6 V_r \tag{7}$

と表せます。

立方体の体積 $V_c$ は

$V_c = 2^3 = 8 \tag{8}$

です。

屋根型五面体の体積を求める

屋根型五面体は、合同なものが6つできますが、ここでは五面体 $A_1 A_2 A_3 A_4 D_1 D_4$ に注目します。

更に、 $z = 1$ の平面上に新たな座標、

点 $E_1$ $\left( \phi^{-1}, 1, 1 \right)$ ，点 $E_2$ $\left( - \phi^{-1}, 1, 1 \right)$ ，点 $E_3$ $\left( - \phi^{-1}, - 1, 1 \right)$ ，点 $E_4$ $\left( \phi^{-1}, - 1, 1 \right)$ ，点 $H_1$ $\left( \phi^{-1}, 0, 1 \right)$ ，点 $H_2$ $\left( - \phi^{-1}, 0, 1 \right)$ ．

を取ります。

点 $H_1$ ，点 $H_2$ は、それぞれ点 $D_1$ ，点 $D_4$ から $z = 1$ の平面上に降ろした垂線の足です。

この時、

$D_1 H_1 = D_4 H_2 = \phi -1 \tag{9}$

となります。

また、点 $E_1$ ，点 $E_4$ は、点 $H_1$ を通り、辺 $A_1 A_4$ (もしくは $A_2 A_4$ ) に平行な直線と辺 $A_1 A_2$ ，辺 $A_4 A_3$ との交点で、点 $E_2$ ，点 $E_3$ は、点 $H_2$ を通り、辺 $A_1 A_4$ (もしくは $A_2 A_4$ ) に平行な直線と辺 $A_1 A_2$ ，辺 $A_4 A_3$ との交点です。

f:id:windview_canada:20220204145022p:plain — 屋根型五面体と平面z=1

f:id:windview_canada:20220203205344p:plain — 屋根型五面体01

f:id:windview_canada:20220203205449p:plain — 屋根型五面体02

f:id:windview_canada:20220203205621p:plain — 屋根型五面体03

f:id:windview_canada:20220203205803p:plain — 屋根型五面体04

f:id:windview_canada:20220203205822p:plain — 屋根型五面体05

→ 立体で表示してみる

五面体 $A_1 A_2 A_3 A_4 D_1 D_4$ を $D_1 E_1 E_4$ と $D_4 E_2 E_3$ の面で分切ると、3つの立体に分けられます。

それぞれ、四角形 $A_1 E_1 E_4 A_4$ を底面とし頂点が $D_1$ の四角錐と、 $\triangle D_1 E_1 E_4$ を底面とし高さが $E_2 E_1$ の三角柱、そして四角形 $E_2 A_2 A_3 E_3$ を底面とし頂点が $D_2$ の四角錐となります。

よって

$\displaystyle V_r = 2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{\phi} \right) ( \phi - 1 ) \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot ( \phi - 1 ) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\phi} + 2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{\phi} \right) ( \phi - 1 ) \cdot \frac{1}{3} \\ \displaystyle = 2 \cdot 2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{\phi} \right) ( \phi - 1 ) \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot ( \phi - 1 ) \cdot \frac{1}{\phi} = \frac{ 4 }{ 3 } ( 2 - \phi ) ( \phi - 1 ) + 2 ( \phi - 1 )^2 \\ \displaystyle = \frac{ 4 }{ 3 } \left( - \phi^2 + 3 \phi -2 \right) + 2 \left( \phi^2- 2 \phi + 1 \right) = \frac{ 4 }{ 3 } \left\{ - (\phi + 1 ) + 3 \phi - 2 \right\} + 2 \left( \phi + 1 - 2 \phi + 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 4 }{ 3 } ( 2 \phi - 3 ) + 2 ( - \phi + 2 ) = \frac{ 2 }{ 3 } \left\{ 2 ( 2 \phi - 3 ) + 3 ( - \phi + 2 ) \right\} = \frac{ 2 }{ 3 } ( 4 \phi - 6 - 3 \phi + 6 ) = \frac{ 2 }{ 3 } \phi$

$\displaystyle \therefore V_r = \frac{ 2 }{ 3 } \phi \tag{10}$

これと(7)，(8)から、正十二面体の体積 $V'$ は、

$\displaystyle V' = V_c + 6 V_r = 8 + 6 \cdot \frac{ 2 }{ 3 } \phi = 8 + 4 \phi = 4 ( \phi + 2 )$

$\displaystyle V' = 4 ( \phi + 2 ) \tag{11}$

$V'$ は一辺の長さが $2 \phi^{-1}$ の正十二面体の体積です。

次に一般的に、一辺の長さが $a$ の正十二面体の体積 $V$ を求めることを考えます。一辺の長さは $\displaystyle \frac{a}{\frac{2}{\phi}}$ 倍、即ち $\displaystyle \frac{a \phi}{2}$ 倍されることになるので、体積は $\displaystyle \left( \frac{a \phi}{2} \right) ^3$ 倍されることになります。

従って、求める体積 $V$ は、

$\displaystyle V = \left( \frac{a \phi}{2} \right) ^{3} V' = \frac{ \phi^3 a^3 }{ 8 } \cdot 4 ( \phi + 2 ) = \frac{ 1 }{ 2 } \phi^3 ( \phi + 2 ) a^3 = \frac{ 1 }{ 2 } \left( \phi^4 + 2 \phi^3 \right) a^3 \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } \left\{ 3 \phi + 2 + 2 ( 2 \phi + 1 ) \right\} a^3 = \frac{ 1 }{ 2 } \left( 7 \phi + 4 \right) a^3$