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正五角形と黄金比
一辺の長さが の正五角形 の対角線 の長さ を求めます。
先ず、 と の交点を とします。
そうすると、, と より、 は菱形であることが判ります。
更にこれより であり、正五角形の対称性より も言えるため、 となります。これは即ち2対角線 , は、 を三等分することを示しています。
更に より であり、 が二等辺三角形であることから と言えます。
以上より、 となり、 に関して次の関係式が成り立ちます。
∴
又、> なので、
となります。
これは取りも直さず、「黄金比」です。
即ち、正五角形の一辺の長さと対角線の長さの比は黄金比であるということが判ります。
一般的に黄金比は、計算の見通しを良くするために便宜上 と置かれる事が多いです。
因みに, の様な辺の長さの比が となる三角形を黄金三角形と言います。