CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

正五角形と黄金比

カテゴリー[ 昆虫| 田園| | | 数学・幾何学| 寺院| | 祭り| 鉄道| | 風力発電]

正五角形と黄金比

正五角形と対角線と黄金比 01

正五角形と対角線

 

一辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE の対角線 BE の長さ \alpha を求めます。

先ず、 AC BE の交点を F とします。

そうすると、 CD /\!\!/ FE CF /\!\!/ DE CD = DE = 1 より、 \square CDEF は菱形であることが判ります。

更にこれより \angle FCE = \angle ECD であり、正五角形の対称性より \angle ECD = \angle BCF も言えるため、 \angle FCE = \angle ECD = \angle BCF となります。これは即ち2対角線  CA CE は、 \angle BCD を三等分することを示しています。

更に BE /\!\!/ CD より \angle FCD = \angle BFC であり、 \triangle CFB二等辺三角形であることから \angle CFB = \angle CBF と言えます。

以上より、 \triangle EBC \text{∽} \triangle CFB となり、 \alpha に関して次の関係式が成り立ちます。

 \alpha : 1 = 1 : \alpha - 1 \tag{1}

 \displaystyle (1) \Leftrightarrow \alpha ( \alpha - 1 ) = 1 \Leftrightarrow \alpha ^{2} - \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha ^{2} - \alpha + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left( \alpha - \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{5}{4}

 \displaystyle \alpha - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}

 \displaystyle \Leftrightarrow \alpha = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \tag{2}

又、 \alpha  0 なので、

 \displaystyle \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \tag{3}

となります。

これは取りも直さず、「黄金比」です。

即ち、正五角形の一辺の長さと対角線の長さの比は黄金比であるということが判ります。

 

一般的に黄金比は、計算の見通しを良くするために便宜上 \displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} と置かれる事が多いです。

 

因みに \triangle EBC  \triangle CFB の様な辺の長さの比が \phi : \phi : 1 となる三角形を黄金三角形と言います。