二項定理

二項定理とは、2項の式「 $x + y$ 」を累乗( $n$ 乗)した場合の一般表示で、次のように表現されます。

$\displaystyle ( x + y ) ^ n = \sum_{k=0}^{n} { { {}_n \mathrm{C}_k } { x ^ { n - k } }{ y ^ k } }$

展開して出てきた各項の係数を求めるような時に威力を発揮します。パスカルの三角形で導かれる数と同じです。

計算例

実際の例として、 $n = 10$ の時を計算します。

$( x + y )^{10} \\ \displaystyle = {}_{10} \mathrm{C}_{0} x^{10} y^{0} + {}_{10} \mathrm{C}_{1} x^{10 - 1 } y^{1} + {}_{10} \mathrm{C}_{2} x^{10 - 2 } y^{2} + + {}_{10} \mathrm{C}_{3} x^{10 - 3 } y^{3} + {}_{10} \mathrm{C}_{4} x^{10 - 4 } y^{4} + {}_{10} \mathrm{C}_{5} x^{10 - 5 } y^{5} \\ + {}_{10} \mathrm{C}_{6} x^{10 - 6 } y^{6} + {}_{10} \mathrm{C}_{7} x^{10 - 7 } y^{7} + {}_{10} \mathrm{C}_{8} x^{10 - 8 } y^{8} + {}_{10} \mathrm{C}_{9} x^{10 - 9 } y^{9} + {}_{10} \mathrm{C}_{10} x^{10 - 10 } y^{10} \\ \displaystyle = x^{10} + 10 x^{9} y + \frac{ 10 \cdot 9 }{ 2 \cdot 1 } x^{8} y^{2} + \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } x^{7} y^{3} + \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } x^{6} y^{4} + \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } x^{5} y^{5} \\ + {}_{10} \mathrm{C}_{ 10 - 6 } x^{4 } y^{6} + {}_{10} \mathrm{C}_{ 10 - 7 } x^{3 } y^{7} + {}_{10} \mathrm{C}_{ 10 - 8 } x^{ 2 } y^{8} + {}_{10} \mathrm{C}_{10 - 9} x^{ 1 } y^{9} + {}_{10} \mathrm{C}_{10} x^{ 0 } y^{10} \\ \displaystyle = x^{10} + 10 x^{9} y + 45 x^{8} y^{2} + 120 x^{7} y^{3} + 210 x^{6} y^{4} + 252 x^{5} y^{5} \\ + {}_{10} \mathrm{C}_{ 4 } x^{4 } y^{6} + {}_{10} \mathrm{C}_{ 3 } x^{3 } y^{7} + {}_{10} \mathrm{C}_{ 2 } x^{ 2 } y^{8} + {}_{10} \mathrm{C}_{1} x y^{9} + {}_{10} \mathrm{C}_{0} y^{10} \\ \displaystyle = x^{10} + 10 x^{9} y + 45 x^{8} y^{2} + 120 x^{7} y^{3} + 210 x^{6} y^{4} + 252 x^{5} y^{5} + 210 y^{6} + 120 x^{3 } y^{7} + 45 x^{ 2 } y^{8} + 10 x y^{9} + y^{10}$

＜関連＞
パスカルの三角形

LibreOffice 数式(Math) のソース：

( x + y ) ^n = sum from{ k = 0 } to { n } C_{k} lsub{n} x ^( n - k ) y ^k

alignl ( x + y ) ^10
newline
alignl phantom {y} = C_{0} lsub{10} x ^10 + C_{1} lsub{10} x ^9 y + C_{2} lsub{10} x ^8 y ^2 + C_{3} lsub{10} x ^7 y ^3 + C_{4} lsub{10} x ^6 y ^4 + C_{5} lsub{10} x ^5 y ^5 + C_{6} lsub{10} x ^4 y ^6 + C_{7} lsub{10} x ^3 y ^7 + C_{8} lsub{10} x ^2 y ^8
newline
alignl phantom {xyz} + C_{9} lsub{10} x y ^9 + C_{10} lsub{10} y ^10
newline
alignl phantom {y} = { alignc x ^10 + 10 x ^9 y + { 10 cdot 9 } over { 2 cdot 1 } cdot x ^8 y ^2 + { 10 cdot 9 cdot 8 } over { 3 cdot 2 cdot 1 } cdot x ^7 y ^3 + { 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 } over { 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } cdot x ^6 y ^4 + { 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 } over { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } cdot x ^5 y ^5 + C_{ 10 - 6 } lsub{10} x ^4 y ^6 }
newline
alignl phantom {xyz} + C_{ 10 - 7 } lsub{10} x ^3 y ^7 + C_{ 10 - 8 } lsub{10} x ^2 y ^8 + C_{ 10 - 9} lsub{10} x y ^9 + C_{ 10 - 10} lsub{10} y ^10
newline
alignl phantom {y} = x ^10 + 10 x ^9 y + 45 x ^8 y ^2 + 120 x ^7 y ^3 + 210 x ^6 y ^4 + 252 x ^5 y ^5 + C_{4} lsub{10} x ^4 y ^6 + C_{3} lsub{10} x ^3 y ^7 + C_{2} lsub{10} x ^2 y ^8
newline
alignl phantom {xyz} + C_{1} lsub{10} x y ^9 + C_{0} lsub{10} y ^10
newline
alignl phantom {y} = x ^10 + 10 x ^9 y + 45 x ^8 y ^2 + 120 x ^7 y ^3 + 210 x ^6 y ^4 + 252 x ^5 y ^5 + 210 x ^4 y ^6 + 120 x ^3 y ^7 + 45 x ^2 y ^8 + 10 x y ^9 + y ^10