オイラーの公式とオイラーの等式

$e^x$ , $\sin ( x )$ , $\cos ( x )$ のマクローリン展開を利用して得られます。

特にオイラーの等式は、数学において重要な5つの数、即ち「 $e$ 」、「 $\pi$ 」、「 $0$ 」、「 $1$ 」、「 $i$ 」が全て含まれ、それらが簡潔な形で結ばれているということから、世界で最も美しい数式と言われています。

導出

$e^{x}$ ， $\sin x$ ， $\cos x$ をマクローリン展開すると、

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} e^{x} = 1 + x + \dfrac{1}{2 !} x^{2} + \dfrac{1}{3 !} x^{3} + \dfrac{1}{4 !} x^{4} + \dfrac{1}{5 !} x^{5} + \dfrac{1}{6 !} x^{6} + \dfrac{1}{7 !} x^{7} + \dfrac{1}{8 !} x^{8} + \dfrac{1}{9 !} x^{9} + \cdots \\ \sin x = x - \dfrac{1}{3 !} x^{3} + \dfrac{1}{5 !} x^{5} - \dfrac{1}{7 !} x^{7} + \dfrac{1}{9 !} x^{9} - \dfrac{1}{11 !} x^{11} + \dfrac{1}{13 !} x^{13} - \dfrac{1}{15 !} x^{15} + \cdots \\ \cos x = 1 - \dfrac{1}{2 !} x^{2} + \dfrac{1}{4 !} x^{4} - \dfrac{1}{6 !} x^{6} + \dfrac{1}{8 !} x^{8} - \dfrac{1}{10 !} x^{10} + \dfrac{1}{12 !} x^{12} - \dfrac{1}{14 !} x^{14} + \cdots \end{array} \right\} \tag{1}$

ここで、 $e^{x}$ の $x$ に $i x$ を代入すると、

$\displaystyle e^{i x} = 1 + i x + \dfrac{1}{2 !} i^{2} x^{2} + \dfrac{1}{3 !} i^{3} x^{3} + \dfrac{1}{4 !} i^{4} x^{4} + \dfrac{1}{5 !} i^{5} x^{5} + \dfrac{1}{6 !} i^{6} x^{6} + \dfrac{1}{7 !} i^{7} x^{7} + \dfrac{1}{8 !} i^{8} x^{8} + \dfrac{1}{9 !} i^{9} x^{9} + \cdots \\ = 1 + i x - \dfrac{1}{2 !} x^{2} - \dfrac{1}{3 !} i x^{3} + \dfrac{1}{4 !} x^{4} + \dfrac{1}{5 !} i x^{5} - \dfrac{1}{6 !} x^{6} - \dfrac{1}{7 !} i x^{7} + \dfrac{1}{8 !} x^{8} + \dfrac{1}{9 !} i x^{9} + \cdots \\ = \left( 1 - \dfrac{1}{2 !} x^{2} + \dfrac{1}{4 !} x^{4} - \dfrac{1}{6 !} x^{6} + \dfrac{1}{8 !} x^{8} - \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{1}{3 !} x^{3} + \dfrac{1}{5 !} x^{5} - \dfrac{1}{7 !} x^{7} + \dfrac{1}{9 !} x^{9} - \cdots \right) \tag{2}$

$\left( \begin{array}{l} \because \ \ i^0 = i^4 = i^8 = i^12 = \cdots = 1 , \ i^1 = i^5 = i^9 = i^13 = \cdots = i , \\ i^2 = i^6 = i^10 = i^14 = \cdots = -1 , \ i^3 = i^7 = i^11 = i^15 = \cdots = -i \end{array} \right)$