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マクスウェルの方程式

イメージ 1

微分形のマクスウェルの方程式

電場を $\boldsymbol{E}$ ，磁場を $\boldsymbol{H}$ ，電束密度を $\boldsymbol{D}$ ，磁束密度を $\boldsymbol{B}$ ，電流を $\boldsymbol{i}$ ，時間を $t$ ，電荷の密度を $\rho$ とすると

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathrm{rot}\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = 0 \\ \displaystyle \mathrm{rot}\boldsymbol{H} - \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} = \boldsymbol{i} \\ \displaystyle \mathrm{div}\boldsymbol{D} = \rho \\ \displaystyle \mathrm{div}\boldsymbol{B} = 0 \end{array} \right.$

積分形のマクスウェルの方程式

電荷を $Q$ とすると

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \int_C \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{s} = - \int_S \dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S} \\ \displaystyle \int_C \boldsymbol{H} \cdot d \boldsymbol{s} = \int_S \boldsymbol{i} \cdot d \boldsymbol{S} + \int_S \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S} \\ \displaystyle \int_S \boldsymbol{D} \cdot d \boldsymbol{S} = Q \\ \displaystyle \int_S \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{S} = 0 \end{array} \right.$

相対論的なマクスウェルの方程式

準備

$\displaystyle c^{2} = \dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$

次の2式を満たす電磁ポテンシャル $\boldsymbol{A}$ (ベクトル)とスカラー $\phi$ を定義する。

$\boldsymbol{B} \equiv \mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \nabla \times \boldsymbol{A}$

$\displaystyle \boldsymbol{E} \equiv - \mathrm{grad} \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} = - \nabla \phi - \dfrac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t}$

また次の四元量を定義する。

$A^{\mu} \equiv \left( \dfrac{\phi}{c} , \boldsymbol{A} \right) = \left( \dfrac{\phi}{c} , A_x , A_y , A_z \right) = \left( A^{0} , A^{1} ,A^{2} , A^{3} \right)$

$\displaystyle \partial_{\mu} \equiv \left( \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial}{\partial t} , \nabla \right) = \left( \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial}{\partial t} , \dfrac{\partial}{\partial x} , \dfrac{\partial}{\partial y} , \dfrac{\partial}{\partial x} \right) = \left( \partial_{0} , \partial_{1} , \partial_{2} , \partial_{3} \right)$

$\displaystyle \partial^{\mu} \equiv \left( \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial}{\partial t} , - \nabla \right) = \left( \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{\partial}{\partial t} , - \dfrac{\partial}{\partial x} , - \dfrac{\partial}{\partial y} , - \dfrac{\partial}{\partial x} \right) = \left( \partial^{0} , \partial^{1} , \partial^{2} , \partial^{3} \right)$

$j^{\mu} \equiv \left( \rho c , \boldsymbol{j} \right) = \left( \rho c , j_x , j_y , j_z \right) = \left( j^{0} , j^{1} ,j^{2} , j^{3} \right)$

更に2階微分演算子ダランベルシアン $\Box$ も導入する。

$\displaystyle \Box \equiv \partial_{\mu} \partial^{\mu} = g_{\mu \nu} \partial^{\nu} \partial^{\mu} = \dfrac{1}{c^{2}} \cdot \dfrac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}} - \Delta = \dfrac{1}{c^{2}} \cdot \dfrac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} = \dfrac{1}{c^{2}} \cdot \dfrac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}$

導出結果

$\large \Box A^{\mu} - \partial ^{\mu} \left( \partial_\nu A^{\nu} \right) = - \mu_0 j^{\mu} \tag{3}$

相対論的なマクスウェルの方程式のテンソル表現

準備

次のテンソル量 $F^{\mu\nu}$ を定義する。

$F^{\mu\nu} \equiv \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}$

これは、電磁場テンソルとも呼ばれる。

導出

$\Box A^{\mu} - \partial ^{\mu} \left( \partial_\nu A^{\nu} \right) = - \mu_0 j^{\mu} \\ \Leftrightarrow \partial_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial ^{\mu} \left( \partial_\nu A^{\nu} \right) = - \mu_0 j^{\mu} \\ \Leftrightarrow \partial_{\nu} \left( \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial ^{\mu} A^{\nu} \right) = - \mu_0 j^{\mu} \\ \Leftrightarrow \partial_{\nu} \left( \partial ^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} \right) = \mu_0 j^{\mu} \\ \Leftrightarrow \partial_{\nu} F^{\mu \nu} = \mu_0 j^{\mu}$

導出結果

$\large \partial_\nu F^{\mu \nu} = \mu_0 j^{\mu} \tag{4}$

LibreOffice 数式(Math)のソース：

alignl rot bold E + { alignc { partial bold B } over { partial t } = 0 }
newline
alignl rot bold H - { alignc { partial bold D } over { partial t } = bold i }
newline
alignl uoper div bold D = %rho
newline
alignl uoper div bold B = 0