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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

ベクトル解析 div grad rot

数学・幾何学 #練習用

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イメージ 1

場の微分

ベクトル解析のベクトルの発散(div)、勾配ベクトル(grad)、ベクトルの回転(rot) です。これらは場の微分を表しています。

ベクトルの発散(div)

ベクトル場 \displaystyle \boldsymbol{V} = \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} に対し、
\displaystyle \mathrm{div} \boldsymbol{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}
をベクトルの発散という。
演算子 \displaystyle \nabla = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} (ナブラという)を用いて
\mathrm{div} \boldsymbol{V} = \nabla \cdot \boldsymbol{V}
とも書く。
これは湧き出し(もしくは吸収)を表し、スカラー量となる。

勾配ベクトル(grad)

3変数の函数 f (x, y, z) に対し、
\displaystyle \mathrm{grad} f = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} \\ \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}
を勾配ベクトルという。
演算子 \nabla を用いて
\mathrm{grad} f = \nabla f
とも書く。
これは最大傾斜の方向を示すベクトル量となる。

ベクトルの回転(rot)

ベクトル \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) に対して
\displaystyle \mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \\ \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \\ \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \boldsymbol{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{k}
をベクトルの回転という。
演算子 \nabla を用いて
\mathrm{rot}\boldsymbol{A} = \nabla \times \boldsymbol{A}
とも書く。
行列式の形で表すと

$ \displaystyle \mathrm{rot}\mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_y & A_z \end{vmatrix} \mathbf{i} + \begin{vmatrix} \dfrac{\partial}{\partial z} & \dfrac{\partial}{\partial x} \\ A_z & A_x \end{vmatrix} \mathbf{j} + \begin{vmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\ A_x & A_y \end{vmatrix} \mathbf{k} $

これは渦の方向と強さを示すベクトル量となる。

ラプラス演算子(ラプラシアン)

ナブラ \nabla を一種のベクトルと捉え、その内積を考える。
\displaystyle \nabla \cdot \nabla = \nabla ^{2} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} = \dfrac{\partial ^ {2}}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^ {2}}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^ {2}}{\partial z^{2}}
これをラプラス演算子(ラプラシアン)と言い、 \Delta とも書く。 一種のスカラー量として扱える。
 

他の1階微分

ベクトルのスカラー倍の発散

\mathrm{div} ( f \boldsymbol{A} ) = f \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} + \mathrm{grad} f \cdot \boldsymbol{A}
\Leftrightarrow \nabla \cdot f \boldsymbol{A} = f \nabla \cdot \boldsymbol{A} + \nabla f \cdot \boldsymbol{A}

ベクトル同士の外積の発散

\mathrm{div} ( \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} ) = \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{rot}\boldsymbol{A} - \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{rot}\boldsymbol{B}
\Leftrightarrow \nabla \cdot ( \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} ) = \boldsymbol{B} \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{A} ) - \boldsymbol{A} \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{B} )
 

2階微分

2階微分を考える。

ベクトルの回転の回転

\displaystyle \require{color} \mathrm{rot} \ \mathrm{rot}\boldsymbol{A} = \mathrm{rot} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \\ \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \\ \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right) - \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right) \\ \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right) - \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right) \\ \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right) - \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right) \end{bmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial x \partial y} - \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial y ^{2} } - \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial z ^{2} } + \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial z \partial x} \\ \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial y \partial z} - \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial z ^{2} } - \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial x ^{2} } + \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial x \partial y} \\ \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial z \partial x} - \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial x ^{2} } - \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial y ^{2} } + \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial y \partial z} \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{ \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial x ^{2} } } + \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial z \partial x} - \left( \textcolor{red}{ \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial x ^{2} } } + \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial y ^{2} } + \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial z ^{2} } \right) \\ \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial x \partial y} + \textcolor{red}{ \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial y ^{2} } } + \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial y \partial z} - \left( \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial x ^{2} } + \textcolor{red}{ \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial y ^{2} } } + \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial z ^{2} } \right) \\ \dfrac{\partial ^ {2} A_x}{\partial z \partial x} + \dfrac{\partial ^ {2} A_y}{\partial y \partial z} + \textcolor{red}{ \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial z ^{2} } } - \left( \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial x ^{2} } + \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial y ^{2} } + \textcolor{red}{ \dfrac{\partial ^ {2} A_z}{\partial z ^{2} } } \right) \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right) \\ \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right) \\ \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \left( \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}} \right) A_x \\ \left( \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}} \right) A_y \\ \left( \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}} \right) A_z \end{bmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \\ \dfrac{\partial }{\partial y} \\ \dfrac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right) - \left( \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}} \right) \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \\ \dfrac{\partial }{\partial y} \\ \dfrac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \mathrm{div} \boldsymbol{A} - \nabla ^{2} \boldsymbol{A} = \mathrm{grad} \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} - \Delta \boldsymbol{A} \\ \Leftrightarrow \nabla \times ( \nabla \times \boldsymbol{A} ) = \nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol{A} ) - \Delta \boldsymbol{A}

スカラーの勾配の回転

スカラーの勾配の回転は0ベクトルとなる。
\mathrm{rot} \ \mathrm{grad} f = \boldsymbol{0}
\Leftrightarrow \nabla \times \nabla f = \boldsymbol{0}

ベクトルの回転の発散

ベクトルの回転の発散は0となる。
\mathrm{div} \ \mathrm{rot}\boldsymbol{A} = 0
\Leftrightarrow \nabla \cdot ( \nabla \times \boldsymbol{A} ) = 0
LibreOffice 数式(Math)のソース：

 

uoper div bold V = { partial V_x } over { partial x } + { partial V_y } over { partial y } + { partial V_z } over { partial z }

 

nabla = left ( matrix { { partial } over { partial x } ## { partial } over { partial y } ## { partial } over { partial z } } right )

 

grad f = left ( { partial f } over { partial x } , { partial f } over { partial y } , { partial f } over { partial z } right )

 

rot bold A = left ( matrix { { partial A_z } over { partial y } - { partial A_y } over { partial z } ## { partial A_z } over { partial x } - { partial A_x } over { partial z } ## { partial A_y } over { partial x } - { partial A_x } over { partial y } } right ) = { alignc left ( { partial A_z } over { partial y } - { partial A_y } over { partial z } right ) bold i - left ( { partial A_z } over { partial x } - { partial A_x } over { partial z } right ) bold j + left ( { partial A_y } over { partial x } - { partial A_x } over { partial y } right ) bold k }

 

rot bold A = nabla times bold A = left lline matrix { bold i # bold j # bold k ## { partial } over { partial x } # { partial } over { partial y } # { partial } over { partial z } ## A_x # A_y # A_z } right rline = left lline matrix { { partial } over { partial y } # { partial } over { partial z } ## A_y # A_z } right rline bold i - left lline matrix { { partial } over { partial x } # { partial } over { partial z } ## A_x # A_z } right rline bold j + left lline matrix { { partial } over { partial x } # { partial } over { partial y } ## A_x # A_y } right rline bold k
newline
alignl phantom { y } = { alignc left ( { partial A_z } over { partial y } - { partial A_y } over { partial z } right ) bold i - left ( { partial A_z } over { partial x } - { partial A_x } over { partial z } right ) bold j + left ( { partial A_y } over { partial x } - { partial A_x } over { partial y } right ) bold k }