ベクトルの内積(スカラー積)

ベクトルの内積(スカラー積)です。

定義

2つのベクトル $\displaystyle \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right)$ , $\displaystyle \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right)$ について

をベクトルの内積という。

更に、 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ の大きさをそれぞれ $A$ ， $B$ 、 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ の成す角を $\theta$ とすると

$\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = A B \cos \theta$

ベクトルの内積が満たす性質

交換の法則

$\displaystyle \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z = \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) = \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A}$

分配の法則

$\displaystyle \boldsymbol{A} \cdot \left( \boldsymbol{B} + \boldsymbol{C} \right) = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} B_x + C_x \\ B_y + C_y \\ B_z + C_z \end{array} \right) = A_x \cdot \left( B_x + C_x \right) + A_y \cdot \left( B_y + C_y \right) + A_z \cdot \left( B_z + C_z \right) \\ = A_x B_x + A_x C_x + A_y B_y + A_y C_y + A_z B_z + A_z C_z \\ = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z + A_x C_x + A_y C_y + A_z C_z \\ \displaystyle = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} C_x \\ C_y \\ C_z \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}$

結合の法則

$\displaystyle m \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = m \left( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} \right) = \boldsymbol{A} \cdot m \boldsymbol{B}$

( $m$ はスカラー量)

それぞれ、ベクトル成分で展開してみると、

$m \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} m A_x \\ m A_y \\ m A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) = m A_x B_x + m A_y B_y + m A_z B_z$

$m \left( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} \right) = m \left\{ \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) \right\} = m \left( A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \right) = m A_x B_x + m A_y B_y + m A_z B_z$

$\boldsymbol{A} \cdot m \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} m B_x \\ m B_y \\ m B_z \end{array} \right) = m A_x B_x + m A_y B_y + m A_z B_z$

となり、最初の等式が成り立っていることが判ります。

単位直交ベクトルの内積が満たす性質

直交座標の $x$ ， $y$ ， $z$ 方向の単位ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}$ ， $\boldsymbol{k}$ とすると

$\displaystyle \boldsymbol{i} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ ， $\displaystyle \boldsymbol{j} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$ ， $\displaystyle \boldsymbol{k} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

と表せる。

$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k} = 1$

$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i} = \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{k} = 0$