ベクトル積(ベクトルの外積)

ベクトル積(ベクトルの外積)です。

ベクトル積の定義

2つのベクトル $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right)$ , $\displaystyle \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right)$ について

$\require{color} \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} A_y B_z - A_z B_y \\ A_z B_x - A_x B_z \\ A_x B_y - A_y B_x \end{array} \right)$

をベクトル積(ベクトルの外積)という。

これを行列式で表すと、

$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array} \right| = \begin{vmatrix} A_y & A_z \\ B_y & B_z \end{vmatrix} \mathbf{i} + \begin{vmatrix} A_z & A_x \\ B_z & B_x \end{vmatrix} \mathbf{j} + \begin{vmatrix} A_x & A_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix} \mathbf{k} $$

$$ = ( A_y B_z - A_z B_y ) \mathbf{i} + ( A_z B_x - A_x B_z ) \mathbf{j} + ( A_x B_y - A_y B_x ) \mathbf{k} $$

ベクトル積が満たす代数的性質

3つのベクトル $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right)$ , $\displaystyle \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right)$ , $\displaystyle \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{ccc} C_x \\ C_y \\ C_z \end{array} \right)$ について

(1) 交換の法則

$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = - \boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A}$

(2) 分配の法則

$\boldsymbol{A} \times ( \boldsymbol{B} + \boldsymbol{C} ) = \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{C}$

(3) 結合の法則

スカラー量 $m$ に対して

$m \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = m ( \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} ) = \boldsymbol{A} \times m \boldsymbol{B}$

直交単位ベクトルのベクトル積が満たす性質

直交座標の $x$ ， $y$ ， $z$ 方向の単位ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}$ ， $\boldsymbol{k}$ とすると、

$\boldsymbol{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表せる。

$\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\therefore \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k} = \boldsymbol{0}$

また、

$\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \boldsymbol{k}$

$\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \boldsymbol{i}$

$\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \boldsymbol{j}$