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累乗の和 - 二乗和の公式

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二乗和の公式

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二乗和の公式の導出です。
 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^3 } = 1^3 + 2^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 + n^3 - \left\{ 0^3 + 1^3 + \cdots + ( n - 2 )^3 + ( n - 1 )^3 \right\} = n^3 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } = n^3 + \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^3 } = n^3 + \sum_{k=1}^{n} { \left( k^3 - 3 k^2 + 3 k - 1 \right) } \\ \displaystyle = n^3 + \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - 3 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } + 3 \sum_{k=1}^{n} { k } - n  
  \\ \displaystyle \Leftrightarrow 3 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } = n^3 - n + 3 \sum_{k=1}^{n} { k } = n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 3 \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{1}
更に(1)から、
  \\ \displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } = n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 3 \sum_{k=1}^{n} { k } = n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 3 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left\{ 2 ( n - 1 ) + 3 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
 \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } = { \frac{1}{6} } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \tag{2}
これが二乗和の公式となります。
 
また(1)より、
  \\ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } = \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{3}
も成り立ちます。

 



LibreOffice 数式(Math)のソース:

 

k ^2 - ( k - 1 ) ^2 = 2 k - 1

 

n ^2 - ( n - 1 ) ^2 = 2 n - 1
newline
dotsvert
newline
3 ^2 - 2 ^2 = 2 cdot 3 - 1
newline
2 ^2 - 1 ^2 = 2 cdot 2 - 1
newline
1 ^2 - 0 ^2 = 2 cdot 1 - 1

 

alignl n ^2 = 2 sum from { k = 1 } to { n } { k } - n
newline
alignl phantom { y } dlrarrow 2 sum from { k = 1 } to { n } { k } = n ^2 + n = n ( n + 1 )
newline
alignl phantom { y } dlrarrow sum from { k = 1 } to { n } { k } = { { 1 } over { 2 } } n ( n + 1 )