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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

微分の公式 3

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イメージ 1

指数関数・対数関数の微分の公式の導出です。

指数関数の微分の公式の導出

オイラーによるネイピア数  e の定義は、

 \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac {e^h - 1}{h} = 1

これを踏まえて、

 \displaystyle \left( e^x \right)' = \lim_{h \to 0} \frac {e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac {e^x \left( e^h - 1 \right) }{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac { e^h - 1 }{h} = e^x

 \displaystyle \left( a^x \right)' = \lim_{h \to 0} \frac {a^{x + h} - a^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac {a^x \left( a^h - 1 \right) }{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac { a^h - 1 }{h}

 \displaystyle a^h = e^{\log a^h} なので、

 \displaystyle \left( a^x \right)' = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac { a^h - 1 }{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac { e^{\log a^h} - 1 }{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} {\frac { e^{\log a^h} - 1 }{\log a^h}} \cdot {\frac {\log a^h}{h}} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} {\frac { e^{\log a^h} - 1 }{\log a^h}} \cdot {\frac {h \cdot \log a}{h}} \\ \displaystyle = a^x \log a \cdot \lim_{h \to 0} {\frac { e^{\log a^h} - 1 }{\log a^h}}

ここで、 \displaystyle \log a^h = t と置くと、  h \rightarrow 0 の時、 t \rightarrow 0 なので、

 \displaystyle \left( a^x \right)' = a^x \log a \cdot \lim_{t \to 0} \frac { e^t - 1 }{t} = a^x \log a \cdot 1 = a^x \log a

 

対数関数の微分の公式の導出

ネイピア数  e の別の定義は、

 \displaystyle e = \lim_{t \to 0} ( 1 + t )^{\frac {1}{t}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{n} \right)^n

 \displaystyle ( \log x )' = \lim_{h \to 0} \frac {\log ( x + h ) - \log x }{h} = \lim_{h \to 0} {\frac {1}{h}} \cdot \log \frac { x + h }{x} = \lim_{h \to 0} {\frac {1}{x}} \cdot {\frac {x}{h}} \cdot \log \left( 1 + \frac {h}{x} \right) \\ \displaystyle = {\frac {1}{x}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac {1}{\frac {h}{x}} \cdot \log \left( 1 + \frac {h}{x} \right)

ここで、 \displaystyle \frac {h}{x} = k と置くと、  h \rightarrow 0 の時、 k \rightarrow 0 なので、

 \displaystyle ( \log x )' = {\frac {1}{x}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac {1}{k} \cdot \log \left( 1 + k \right) = {\frac {1}{x}} \cdot \lim_{h \to 0} \log \left( 1 + k \right)^{\frac {1}{k}} = {\frac {1}{x}} \cdot \log e = \frac {1}{x}

 \displaystyle ( \log_a x)' = \left( \frac {\log x}{\log a} \right)' = {\frac {1}{\log a}} \cdot ( \log x )' = \frac {1}{x \log a}

 


 


LibreOffice 数式(Math)のソース:

 

alignl { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ h - 1 } over { h } } } = 1

 

alignl ( e ^ x ) ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ { x + h } - e ^ x } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ x ( e ^ h - 1 ) } over { h } } }
= { alignc e ^ x lim from{ h toward 0 } { { e ^ h - 1 } over { h } } } = e ^ x

 

alignl ( a ^ x ) ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { a ^ { x + h } - a ^ x } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { a ^ x } ( { a ^ h } - 1 ) } over { h } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { ( { a ^ h } - 1 ) } over { h } } }

 

a ^ h = e ^ { log a ^ h }

 

alignl ( a ^ x ) ' = { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { h } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { log a ^ h } } cdot { { log a ^ h } over { h } } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { log a ^ h } } cdot { { h cdot log a } over { h } } } }

 

alignl ( a ^ x ) ' = { alignc { a ^ x } lim from{ t toward 0 } { { { ( { e ^ t } - 1 ) } over { t } } cdot { log a } } } = a ^ x log a

 

alignl e = { alignc lim from{ t toward 0 } { ( 1 + t ) ^ { { 1 } over { t } } } }
= { alignc lim from{ n toward infinity } { left ( 1 + { 1 } over { n } right ) ^ { n } } }

 

alignl ( log x ) ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { log ( x + h ) - log x } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { 1 } over { h } } { log { { x + h } over { x } } } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { 1 } over { x } } cdot { { x } over { h } } { log { left ( 1 + { h } over { x } right ) } } } }

 

alignl ( log x ) ' = { alignc lim from{ k toward 0 } { { { 1 } over { x } } cdot { { 1 } over { k } } { log { ( 1 + k ) } } } }
= { alignc lim from{ k toward 0 } { { { 1 } over { x } } { log { ( 1 + k ) ^ { { 1 } over { k } } } } } }
= { { 1 } over { x } } log { e } = { 1 } over { x }

 

alignl ( log _a {x} ) ' = left ( { log x } over { log a } right ) ' = { alignc { 1 } over { log a } { ( log x ) ' } }
= { alignc { 1 } over { x log a } }