カテゴリー[ 昆虫| 田園| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]
指数関数・対数関数の微分の公式の導出です。
指数関数の微分の公式の導出
これを踏まえて、
なので、
ここで、 と置くと、 の時、 なので、
対数関数の微分の公式の導出
ネイピア数 の別の定義は、
ここで、 と置くと、 の時、 なので、
LibreOffice 数式(Math)のソース:
alignl { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ h - 1 } over { h } } } = 1
alignl ( e ^ x ) ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ { x + h } - e ^ x } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ x ( e ^ h - 1 ) } over { h } } }
= { alignc e ^ x lim from{ h toward 0 } { { e ^ h - 1 } over { h } } } = e ^ x
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { e ^ x ( e ^ h - 1 ) } over { h } } }
= { alignc e ^ x lim from{ h toward 0 } { { e ^ h - 1 } over { h } } } = e ^ x
alignl ( a ^ x ) ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { a ^ { x + h } - a ^ x } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { a ^ x } ( { a ^ h } - 1 ) } over { h } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { ( { a ^ h } - 1 ) } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { a ^ x } ( { a ^ h } - 1 ) } over { h } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { ( { a ^ h } - 1 ) } over { h } } }
a ^ h = e ^ { log a ^ h }
alignl ( a ^ x ) ' = { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { h } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { log a ^ h } } cdot { { log a ^ h } over { h } } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { log a ^ h } } cdot { { h cdot log a } over { h } } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { log a ^ h } } cdot { { log a ^ h } over { h } } } }
= { alignc { a ^ x } lim from{ h toward 0 } { { { ( { e ^ { log a ^ h } } - 1 ) } over { log a ^ h } } cdot { { h cdot log a } over { h } } } }
alignl ( a ^ x ) ' = { alignc { a ^ x } lim from{ t toward 0 } { { { ( { e ^ t } - 1 ) } over { t } } cdot { log a } } } = a ^ x log a
alignl e = { alignc lim from{ t toward 0 } { ( 1 + t ) ^ { { 1 } over { t } } } }
= { alignc lim from{ n toward infinity } { left ( 1 + { 1 } over { n } right ) ^ { n } } }
= { alignc lim from{ n toward infinity } { left ( 1 + { 1 } over { n } right ) ^ { n } } }
alignl ( log x ) ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { log ( x + h ) - log x } over { h } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { 1 } over { h } } { log { { x + h } over { x } } } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { 1 } over { x } } cdot { { x } over { h } } { log { left ( 1 + { h } over { x } right ) } } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { 1 } over { h } } { log { { x + h } over { x } } } } }
= { alignc lim from{ h toward 0 } { { { 1 } over { x } } cdot { { x } over { h } } { log { left ( 1 + { h } over { x } right ) } } } }
alignl ( log x ) ' = { alignc lim from{ k toward 0 } { { { 1 } over { x } } cdot { { 1 } over { k } } { log { ( 1 + k ) } } } }
= { alignc lim from{ k toward 0 } { { { 1 } over { x } } { log { ( 1 + k ) ^ { { 1 } over { k } } } } } }
= { { 1 } over { x } } log { e } = { 1 } over { x }
= { alignc lim from{ k toward 0 } { { { 1 } over { x } } { log { ( 1 + k ) ^ { { 1 } over { k } } } } } }
= { { 1 } over { x } } log { e } = { 1 } over { x }
alignl ( log _a {x} ) ' = left ( { log x } over { log a } right ) ' = { alignc { 1 } over { log a } { ( log x ) ' } }
= { alignc { 1 } over { x log a } }
= { alignc { 1 } over { x log a } }