部分積分法の応用 - 指数関数と三角関数の積の積分

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部分積分法の応用で、指数関数と三角関数の積の積分です。

$e^x \sin x$ , $e^x \cos x$ , $e^{- x} \sin x$ , $e^{- x} \cos x$ , $e^{\sin x} {\sin x} {\cos x}$ , $e^{\cos x} {\sin x} {\cos x}$ など。

指数関数と三角関数の積の積分

部分積分法を2回繰り返すと左辺と同じ形の項が出てくる。それを左辺に移行してまとめることで導出できる。

$\displaystyle \int e ^ {x} \sin x dx = - \int e ^ {x} ( \cos x )' dx = - e ^ {x} \cos x + \int ( e ^ {x} )' \cos x dx + C \\ \displaystyle = - e ^ {x} \cos x + \int e ^ {x} \cos x dx + C = - e ^ {x} \cos x + \int e ^ {x} ( \sin x )' dx + C \\ \displaystyle = - e ^ {x} \cos x + e ^ {x} \sin x - \int ( e ^ {x} )' \sin x dx + 2 C = e ^ {x} ( \sin x - \cos x ) - \int e ^ {x} \sin x dx + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \int e ^ {x} \sin x dx = e ^ {x} ( \sin x - \cos x ) + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int e ^ {x} \sin x dx = \frac{ e ^ {x} }{ 2 } ( \sin x - \cos x ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {x} \cos x dx = \int e ^ {x} ( \sin x )' dx = e ^ {x} \sin x - \int ( e ^ {x} )' \sin x dx + C \\ \displaystyle = e ^ {x} \sin x - \int e ^ {x} \sin x dx + C = e ^ {x} \sin x + \int e ^ {x} ( \cos x )' dx + C \\ \displaystyle = e ^ {x} \sin x + e ^ {x} \cos x - \int ( e ^ {x} )' \cos x dx + 2 C = e ^ {x} ( \sin x + \cos x ) - \int e ^ {x} \cos x dx + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \int e ^ {x} \cos x dx = e ^ {x} ( \sin x + \cos x ) + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int e ^ {x} \cos x dx = \frac{ e ^ {x} }{ 2 } ( \sin x + \cos x ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {- x} \sin x dx = - \int e ^ {- x} ( \cos x )' dx = - e ^ {- x} \cos x + \int ( e ^ {- x} )' \cos x dx + C \\ \displaystyle = - e ^ {- x} \cos x - \int e ^ {- x} \cos x dx + C = - e ^ {- x} \cos x - \int e ^ {- x} ( \sin x )' dx + C \\ \displaystyle = - e ^ {- x} \cos x - e ^ {- x} \sin x + \int ( e ^ {- x} )' \sin x dx + 2 C = - e ^ {- x} ( \sin x + \cos x ) - \int e ^ {- x} \sin x dx + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \int e ^ {- x} \sin x dx = - e ^ {- x} ( \sin x + \cos x ) + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int e ^ {- x} \sin x dx = - \frac{ e ^ {x} }{ 2 } ( \sin x + \cos x ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {- x} \cos x dx = \int e ^ {- x} ( \sin x )' dx = e ^ {- x} \sin x - \int ( e ^ {- x} )' \sin x dx + C \\ \displaystyle = e ^ {- x} \sin x + \int e ^ {- x} \sin x dx + C = e ^ {- x} \sin x - \int e ^ {- x} ( \cos x )' dx + C \\ \displaystyle = e ^ {- x} \sin x - e ^ {- x} \cos x + \int ( e ^ {- x} )' \cos x dx + 2 C = e ^ {- x} ( \sin x - \cos x ) - \int e ^ {- x} \cos x dx + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \int e ^ {- x} \cos x dx = e ^ {- x} ( \sin x - \cos x ) + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int e ^ {- x} \cos x dx = \frac{ e ^ {- x} }{ 2 } ( \sin x - \cos x ) + C$

どちらかの積分項に部分積分法を適用すると積分項を消去することができる。

$\displaystyle \int e ^ {x} ( \cos x - \sin x ) dx = \int e ^ {x} \cos x dx - \int e ^ {x} \sin x dx = \int e ^ {x} \cos x dx + \int e ^ {x} ( \cos x )' dx \\ \displaystyle = \int e ^ {x} \cos x dx + e ^ {x} \cos x - \int ( e ^ {x} )' \cos x dx + C = \int e ^ {x} \cos x dx + e ^ {x} \cos x - \int e ^ {x} \cos x dx + C \\ \displaystyle = e ^ {x} \cos x + C$

$\displaystyle \int e ^ {x} ( \cos x + \sin x ) dx = \int e ^ {x} \cos x dx + \int e ^ {x} \sin x dx = \int e ^ {x} ( \sin x )' dx + \int e ^ {x} \sin x dx \\ \displaystyle = e ^ {x} \sin x - \int ( e ^ {x} )' \sin x dx + \int e ^ {x} \sin x dx + C = e ^ {x} \sin x - \int e ^ {x} \sin x dx + \int e ^ {x} \sin x dx + C \\ \displaystyle = e ^ {x} \sin x + C$

$\displaystyle \int e ^ {- x} ( \sin x + \cos x ) dx = \int e ^ {- x} \sin x dx + \int e ^ {- x} \cos x dx = - \int e ^ {- x} ( \cos x )' dx + \int e ^ {- x} \cos x dx \\ \displaystyle = - e ^ {- x} \cos x + \int ( e ^ {- x} )' \cos x dx + \int e ^ {- x} \cos x dx + C \\ \displaystyle = - e ^ {- x} \cos x - \int e ^ {- x} \cos x dx + \int e ^ {- x} \cos x dx + C = - e ^ {- x} \cos x + C$

$\displaystyle \int e ^ {- x} ( \sin x - \cos x ) dx = \int e ^ {- x} \sin x dx - \int e ^ {- x} \cos x dx = \int e ^ {- x} \sin x dx - \int e ^ {- x} ( \sin x )' dx \\ \displaystyle = \int e ^ {- x} \sin x dx - e ^ {- x} \sin x + \int ( e ^ {- x} )' \sin x dx + C \\ \displaystyle = \int e ^ {- x} \sin x dx - e ^ {- x} \sin x - \int e ^ {- x} \sin x dx + C = - e ^ {- x} \sin x + C$

一般化すると次のように表せる。

\begin{cases} \displaystyle \int e ^ {a x} \sin b x dx = \frac{e ^ {a x}}{ a^2 + b^2 } (a \sin b x - b \cos b x ) + C \;\;\; ( a^2 + b^2 \neq 0 ) \\ \displaystyle \int e ^ {a x} \cos b x dx = \frac{e ^ {a x}}{ a^2 + b^2 } (a \cos b x + b \sin b x ) + C \;\;\; ( a^2 + b^2 \neq 0 ) \end{cases}

導出

$\displaystyle a ^ 2 + b ^ 2 \neq 0$ を満たす実数 $a$ ， $b$ に対し、

$\displaystyle \int e ^ {a x} \sin b x dx = - \frac{1}{b} \int e ^ {a x} ( \cos b x )' dx = - \frac{e ^ {a x}}{b} \cos b x + \frac{1}{b} \int ( e ^ {a x} )' \cos b x dx + C_1 \\ \displaystyle = - \frac{e ^ {a x}}{b} \cos b x + \frac{a}{b} \int e ^ {a x} \cos b x dx + C_1 = - \frac{e ^ {a x}}{b} \cos b x + { \frac{a}{b} } \cdot { \frac{1}{b} } \int e ^ {a x} ( \sin b x )' dx + C_1 \\ \displaystyle = - \frac{e ^ {a x}}{b} \cos b x + \frac{a e ^ {a x}}{b ^ 2} \sin b x - \frac{a}{b ^ 2} \int ( e ^ {a x} )' \sin b x dx + C_2 \\ \displaystyle = - \frac{e ^ {a x}}{ b ^ 2 } \cos b x + \frac{a e ^ {a x}}{b ^ 2} \sin b x - \frac{ a ^ 2 }{ b ^ 2 } \int e ^ {a x} \sin b x dx + C_2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow b ^ 2 \int e ^ {a x} \sin b x dx = e ^ {a x} ( a \sin b x - b \cos b x ) - a ^ 2 \int e ^ {a x} \sin b x dx + C_3 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int e ^ {a x} \sin b x dx = \frac{e ^ {a x}}{ a^2 + b^2 } (a \sin b x - b \cos b x ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {a x} \cos b x dx = \frac{1}{b} \int e ^ {a x} ( \sin b x )' dx = \frac{e ^ {a x}}{b} \sin b x - \frac{1}{b} \int ( e ^ {a x} )' \sin b x dx + C_1 \\ \displaystyle = \frac{e ^ {a x}}{b} \sin b x - \frac{a}{b} \int e ^ {a x} \sin b x dx + C_1 = \frac{e ^ {a x}}{b} \sin b x - { \frac{a}{b} } \cdot { \left( - \frac{1}{b} \right) } \int e ^ {a x} ( \cos b x )' dx + C_1 \\ \displaystyle = \frac{e ^ {a x}}{b} \sin b x + { \frac{a}{ b ^ 2 } } \int e ^ {a x} ( \cos b x )' dx + C_1 = \frac{e ^ {a x}}{b} \sin b x + \frac{a e ^ {a x}}{ b ^ 2 } \cos b x - { \frac{a}{ b ^ 2 } } \int ( e ^ {a x} )' \cos b x dx + C_2 \\ \displaystyle = \frac{b e ^ {a x}}{b ^ 2} \sin b x + \frac{a e ^ {a x}}{ b ^ 2 } \cos b x - { \frac{ a ^ 2 }{ b ^ 2 } } \int e ^ {a x} \cos b x dx + C_2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow {b ^ 2} \int e ^ {a x} \cos b x dx = e ^ {a x} ( a \cos b x + b \sin b x ) - {a ^ 2} \int e ^ {a x} \cos b x dx + C_3 \\ \displaystyle \Leftrightarrow ( a^2 + b^2 ) \int e ^ {a x} \cos b x dx = e ^ {a x} ( a \cos b x + b \sin b x ) + C_3 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int e ^ {a x} \cos b x dx = \frac{e ^ {a x}}{ a^2 + b^2 } (a \cos b x + b \sin b x ) + C$

2式を足し引きして、

\begin{cases} \displaystyle \int e ^ {a x} ( \cos b x + \sin b x ) dx = \frac{e ^ {a x}}{ a^2 + b^2 } \left\{ ( a - b ) \cos b x + ( a + b ) \sin b x \right\} + C \;\;\; ( a^2 + b^2 \neq 0 ) \\ \displaystyle \int e ^ {a x} ( \cos b x - \sin b x ) dx = \frac{e ^ {a x}}{ a^2 + b^2 } \left\{ ( a + b ) \cos b x - ( a - b ) \sin b x \right\} + C \;\;\; ( a^2 + b^2 \neq 0 ) \end{cases}

特に $a = b$ のとき、

\begin{cases} \displaystyle \int e ^ {a x} ( \cos a x + \sin a x ) dx = \frac{e ^ {a x}}{a} \sin a x + C \;\;\; ( a \neq 0 ) \\ \displaystyle \int e ^ {a x} ( \cos b x - \sin b x ) dx = \frac{e ^ {a x}}{a} \cos a x + C \;\;\; ( a \neq 0 ) \end{cases}

$\displaystyle \int e ^ {\sin x} \sin x \cos x dx = e ^ {\sin x} ( \sin x - 1 ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {\cos x} \sin x \cos x dx = e ^ {\cos x} ( 1 - \cos x ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {\tan x} \tan x \left( \tan ^ {2} x + 1 \right) dx = e ^ {\tan x} ( \tan x - 1 ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {\cos ^{2} x} \sin x \cos ^ {3} x dx = \frac{1}{2} e ^ {\cos ^{2} x} ( \cos x - 1 ) ( \cos x + 1 ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {\sin ^{3} x} \sin ^ {5} x \cos x dx = \frac{1}{3} e ^ {\sin ^{3} x} ( \sin x - 1 ) \left( \sin ^{2} x + \sin x + 1 \right) + C$

$\displaystyle \int e ^ {\tan ^{2} x} \tan ^{3} x \left( \tan ^ {2} x + 1 \right) dx = \frac{1}{2} e ^ {\tan ^{2} x} ( \tan x - 1 ) ( \tan x + 1 ) + C$

$\displaystyle \int e ^ {\tan ^{3} x} \tan ^{5} x \left( \tan ^ {2} x + 1 \right) dx = \frac{1}{3} e ^ {\tan ^{3} x} ( \tan x - 1 ) \left( \tan ^{2} x + \tan x + 1 \right) + C$

一般化すると、自然数 $n$ に対し、

$\displaystyle \int e ^ {\sin ^{n} x} \sin ^ {2 n - 1} x \cos x dx = \frac{1}{n} e ^ {\sin ^{n} x} ( \sin x - 1 ) \left( \sin ^{n - 1} x + \sin ^{n - 2} x + \cdots + \sin x + 1 \right) + C \\ \displaystyle \quad = \frac{1}{n} e ^ {\sin ^{n} x} ( \sin x - 1 ) \sum_{k=1}^{n} { \sin ^ {k - 1} x } + C$

$\displaystyle \int e ^ {\cos ^{n} x} \sin x \cos ^ {2 n - 1} x dx = \frac{1}{n} e ^ {\cos ^{n} x} ( \cos x - 1 ) \left( \cos ^{n - 1} x + \cos ^{n - 2} x + \cdots + \cos x + 1 \right) + C \\ \displaystyle \quad = \frac{1}{n} e ^ {\cos ^{n} x} ( \cos x - 1 ) \sum_{k=1}^{n} { \cos ^ {k - 1} x } + C$

$\displaystyle \int e ^ {\tan ^{n} x} \tan ^{2 n - 1} x \left( \tan ^ {2} x + 1 \right) dx \\ \displaystyle \quad = \frac{1}{n} e ^ {\tan ^{n} x} ( \tan x - 1 ) \left( \tan ^{n - 1} x + \tan ^{n - 2} x + \cdots + \tan x + 1 \right) + C \\ \displaystyle \quad = \frac{1}{n} e ^ {\tan ^{n} x} ( \tan x - 1 ) \sum_{k=1}^{n} { \tan ^ {k - 1} x } + C$