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合成関数の積分の公式

数学・幾何学 #練習用

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合成函数の積分

合成函数の積分の公式です。

「微分形接触型」と言うらしいですね。

導出

合成函数の微分法から

$\left\{ \sin f ( x ) \right\} ' = f ' ( x ) \cos f ( x )$

$\left\{ \cos f ( x ) \right\} ' = - f ' ( x ) \sin f ( x )$

$\displaystyle \left\{ \tan f ( x ) \right\} ' = \dfrac{ f ' ( x ) }{\cos ^{2} f ( x )}$

$\left\{ e^{ f ( x ) } \right\} ' = f ' ( x ) e^{ f ( x ) }$

$\left\{ \alpha^{ f ( x ) } \right\} ' = { f ' ( x ) \alpha^{ f ( x ) } } \cdot \log \alpha$

これらより、

$\displaystyle \int f ' ( x ) \sin f ( x ) dx = - \cos f ( x ) + C$

$\displaystyle \int f ' ( x ) \cos f ( x ) dx = \sin f ( x ) + C$

$\displaystyle \int \dfrac{ f ' ( x ) }{\cos ^{2} f ( x )} dx = \tan f ( x ) + C$

$\displaystyle \int f ' ( x ) e^{ f ( x ) } dx = e^{ f ( x ) }+ C$

$\displaystyle \int f ' ( x ) \alpha^{ f ( x ) } dx = \dfrac{\alpha^{ f ( x )}}{\log \alpha} + C$

特に $f ( x ) = a x + b$ の場合、 $f' ( x ) = a$ なので、

$\displaystyle \int \sin ( a x + b ) dx = - \dfrac{1}{a} \cos ( a x + b )+ C$

$\displaystyle \int \cos ( a x + b ) dx = \dfrac{1}{a} \sin ( a x + b ) + C$

$\displaystyle \int \dfrac{ 1 }{\cos ^{2} ( a x + b ) } dx = \dfrac{1}{a} \tan ( a x + b ) + C$

$\displaystyle \int e^{ a x + b } dx = \dfrac{1}{a} e^{ a x + b }+ C$

$\displaystyle \int \alpha^{ a x + b } dx = \dfrac{\alpha^{ a x + b}}{a \log \alpha} + C$

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