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部分積分法の応用 - xのn次式と対数関数の積の積分

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xのn次式と対数関数の積の積分

部分積分法の応用で、xのn次式と対数関数の積の積分 です。

 \displaystyle \int \log x dx = \int ( x ) ' \log x dx = x \log x - \int x ( \log x ) ' dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x + C

 \displaystyle \int \log \sqrt {x} dx = \int \log x ^ {\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \log x dx = \frac{1}{2} \left\{ \int ( x ) ' \log x dx \right\} = \frac{1}{2} \left\{ x \log x - \int x ( \log x ) ' dx \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \left( x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \right) = \frac{x}{2} \left( \log x - 1 \right) + C

 \displaystyle \int \log ( x + 3) dx = \int ( x + 3) ' \log ( x + 3) dx = ( x + 3) \log ( x + 3) - \int ( x + 3) \left\{ \log ( x + 3) dx \right\} ' + \frac{C}{2} \\ \displaystyle = ( x + 3) \log ( x + 3) - \int ( x + 3) \cdot { \frac{ ( x + 3 ) ' }{ x + 3 } } + \frac{C}{2} = ( x + 3) \log ( x + 3) - x + C

 \displaystyle \int \log \left( 1 + \sqrt {x} \right) dx = ( x - 1 ) \log \left( 1 + \sqrt {x} \right) - \frac{x}{2} + \sqrt {x} + C

 \displaystyle \int \log \left( \sqrt {x} - 1 \right) dx = ( x - 1 ) \log \left( \sqrt {x} - 1 \right) - \frac{x}{2} - \sqrt {x} + C

 \displaystyle \int x^2 \log \left( x \sqrt {x} - 1 \right) dx = \frac{1}{3} \left\{ \left( x ^ {3} - 1 \right) \log \left( x \sqrt {x} - 1 \right) - \frac{x ^ 3}{2} - x \sqrt {x} \right\} + C

 \displaystyle \int \left( \log x \right) ^2 dx = x \left\{ \left( \log x \right) ^ {2} - 2 \log x + 2 \right\} + C

 \displaystyle \int \left( \log x \right) ^3 dx = x \left\{ \left( \log x \right) ^ {3} - 3 \left( \log x \right) ^ {2} + 6 \log x - 6 \right\} + C

一般化すると次のように表せる。

 \displaystyle \int \left( \log x \right) ^n dx = x \sum_{k=0}^{n} {{(- 1)^k} \cdot {\frac {n !}{(n - k) !}} \cdot {\left( \log x \right) ^{n - k}}} + C = x \sum_{k=0}^{n} {{(- 1)^k} \cdot {{}_{n}P_{k}} \cdot {\left( \log x \right) ^{n - k}}} + C  (  n自然数 )

 \displaystyle \int x \log x dx = \frac{x ^ {2}}{2} \left( \log x - \frac{1}{2} \right) + C

 \displaystyle \int x^2 \log x dx = \frac{x ^ {3}}{3} \left( \log x - \frac{1}{3} \right) + C

 \displaystyle \int x^3 \log x dx = \frac{x ^ {4}}{4} \left( \log x - \frac{1}{4} \right) + C

 \displaystyle \int x \sqrt {x} \log x dx = \frac{2}{5} x ^{2} \sqrt {x} \left( \log x - \frac{2}{5} \right) + C

一般化すると次のように表せる。

 \displaystyle \int x^n \log x dx = \frac {1}{n + 1} \int \left( x ^{n + 1} \right)' \log x dx = \frac {1}{n + 1} \left\{ x ^{n + 1} \log x - \int x ^{n + 1} \left( \log x \right)' dx \right\} + \frac {C}{2} \\ \displaystyle = \frac {1}{n + 1} \left( x ^{n + 1} \log x - \int x ^{n + 1} \cdot \frac {1}{x} dx \right) + \frac {C}{2} = \frac {1}{n + 1} \left( x ^{n + 1} \log x - \int x ^{n} dx \right) + \frac {C}{2} \\ \displaystyle = \frac {1}{n + 1} \left( x ^{n + 1} \log x - \frac {1}{n + 1} x ^{n + 1} \right) + C = \frac {x ^{n + 1}}{n + 1} \left( \log x - \frac {1}{n + 1} \right) + C

(  n \neq - 1 )

 \displaystyle \int x \log \left( x^2 + 4 \right) dx = \frac{1}{2} \left\{ \left( x ^ {2} + 4 \right) \log \left( x ^ {2} + 4 \right) - x ^ {2} \right\} + C

 \displaystyle \int x^2 \log \left( x^3 + 8 \right) dx = \frac{1}{3} \left\{ \left( x ^ {3} + 8 \right) \log \left( x ^ {3} + 8 \right) - x ^ {3} \right\} + C

 \displaystyle \int \sqrt {x} \log \left( x \sqrt {x} + 1 \right) dx = \frac{2}{3} \left\{ \left( x \sqrt {x} + 1 \right) \log \left( x \sqrt {x} + 1 \right) - x \sqrt {x} \right\} + C

 \displaystyle \int \frac { \log \left( \sqrt {x} - 1 \right)}{\sqrt {x}} dx = 2 \left\{ \left( \sqrt {x} - 1 \right) \log \left( \sqrt {x} - 1 \right) - \sqrt {x} \right\} + C

 \displaystyle \int \frac { \log \left( \frac {1}{\sqrt {x}} + 1 \right)}{x \sqrt {x}} dx

一般化すると次のように表せる。

 \displaystyle \int x^n \log \left( x ^ { n + 1 } + a \right) dx = { \frac {1}{ n + 1 } } { \left\{ \left( x ^ { n + 1 } + a \right) \log \left( x ^ { n + 1 } + a \right) - { x ^ { n + 1 }} \right\} } + C

(  n \neq - 1 )

 \displaystyle \int {\frac { \log x }{x}} dx = \frac { \left( \log x \right) ^ {2} }{2} + C

 \displaystyle \int {\frac { \left( \log x \right) ^ {2} }{x}} dx = \frac { \left( \log x \right) ^ {3} }{3} + C

 \displaystyle \int {\frac { \log x }{x ^ 2}} dx = - \frac {1}{x} \left( { \log x } + 1 \right) + C

 \displaystyle \int {\frac { \log x }{\sqrt {x}}} dx = 2 \sqrt {x} \left( { \log x } - 2 \right) + C

 \displaystyle \int {\frac { \log x }{x \sqrt {x}}} dx = - \frac {2}{\sqrt {x} } \left( { \log x } + 2 \right) + C

一般化すると次のように表せる。

 \displaystyle \int {\frac { \log x }{x ^ m}} dx = - \frac {1}{ ( m - 1 ) x ^ {m - 1}} \left( { \log x } + \frac {1}{m - 1} \right) + C

( mは2以上の自然数 )

ここで、 n = - m と置くと、上式は

 \displaystyle \int x^n \log x dx = \frac {x ^{n + 1}}{n + 1} \left( \log x - \frac {1}{n + 1} \right) + C   (nは自然数)

と同等である。また、 n = - m = 0 の時も成り立つ。

すなわち、nは-1以外の整数全体まで拡張できた。

 \displaystyle \int {x ^ 2} \left( \log x \right) ^2 dx = \frac {x ^ 3}{3} \left\{ \left( \log x \right) ^ {2} - \frac {2}{3} \log x + \frac {2}{9} \right\} + C

 \displaystyle \int {x ^ 2} \left( \log x \right) ^3 dx = \frac {x ^ 3}{3} \left\{ \left( \log x \right) ^ {3} - \left( \log x \right) ^ {2} + \frac {2}{3} \log x - \frac {2}{9} \right\} + C

 \displaystyle \int {x ^ 2} \left( \log x \right) ^{4} dx = \frac {x ^ 3}{3} \left\{ \left( \log x \right) ^ {4} - \frac {4}{3} \left( \log x \right) ^ {3} + \frac {4}{3} \left( \log x \right) ^ {2} - \frac {8}{9} \log x + \frac {8}{27} \right\} + C

 \displaystyle \int \frac {\left( \log x \right) ^2}{x ^ 2} dx = - \frac {1}{x} \left\{ \left( \log x \right) ^ {2} + 2 \log x + 2 \right\} + C

 \displaystyle \int \frac {\left( \log x \right) ^3}{x ^ 2} dx = - \frac {1}{x} \left\{ \left( \log x \right) ^ {3} + 3 \left( \log x \right) ^ {2} + 6 \log x + 6 \right\} + C

 \displaystyle \int \frac {\left( \log x \right) ^2}{x ^ 3} dx = - \frac {1}{2 x ^ {2}} \left\{ \left( \log x \right) ^ {2} + \log x + \frac{1}{2} \right\} + C

 \displaystyle \int \frac {\left( \log x \right) ^2}{x ^ 4} dx = - \frac {1}{3 x ^ {3}} \left\{ \left( \log x \right) ^ {2} + \frac{2}{3} \log x + \frac{2}{9} \right\} + C

一般化すると次のように表せる。

 \displaystyle \int {x ^ {m}} { \left( \log x \right) ^{n} } dx = {x ^ {m + 1}} \sum_{k=0}^{n} {{(- 1)^k} \cdot {\frac {n !}{( m + 1 ) ^ { k + 1 } {(n - k) !}}} \cdot {\left( \log x \right) ^{n - k}}} + C \\ \displaystyle = {x ^ {m + 1}} \sum_{k=0}^{n} { \frac {(- 1)^k}{( m + 1 ) ^ { k + 1 }} \cdot {{}_{n}P_{k}} \cdot {\left( \log x \right) ^{n - k}}} + C

(  m - 1以外の整数、 n自然数 )

 


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