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部分積分法の応用 - 三角関数と三角関数の積の積分

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部分積分法の応用で、三角関数三角関数の積の積分 です。

 

 \displaystyle \frac {1}{\sin^4 x}  \displaystyle \frac {1}{\cos^4 x}  \displaystyle \frac {1}{\sin^5 x}  \displaystyle \frac {1}{\cos^5 x}  \displaystyle \frac {1}{\cos^7 x} ,  \displaystyle \frac {1}{\sin^n x}  \displaystyle \frac {1}{\cos^n x} 積分など。

三角関数三角関数の積の積分

 \displaystyle \int \frac {\tan x}{\cos ^2 x} dx = \int \tan x ( \tan x )' dx = \tan ^2 x - \int ( \tan x )' \tan x dx + 2 C = \tan ^2 x - \int \frac {\tan x}{\cos ^2 x} dx + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \int \frac {\tan x}{\cos ^2 x} dx = \tan ^2 x + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int \frac {\tan x}{\cos ^2 x} dx = \frac {\tan ^2 x}{2} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^ {3} x} dx = \int {\frac {1}{\cos ^{2} x}} \cdot {\frac {1}{\cos x}} dx = \int {( \tan x ) ' } \cdot {\frac {1}{\cos x}} dx \\ \displaystyle = \frac {\tan x}{\cos x} - \int {\tan x} \cdot \left( {\frac {1}{\cos x}} \right) ' dx + C = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} - \int {\tan x} \cdot {\frac {\sin x}{\cos ^ {2} x}} dx + C \\ \displaystyle = {\frac {\sin x}{\cos ^{2} x}} - \int \frac {1}{\cos ^ {3} x} dx + \int \frac {1}{\cos x} dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} - \int \frac {\sin ^ {2} x}{\cos ^ {3} x} dx + C = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} - \int \frac {1 - \cos ^ {2} x}{\cos ^ {3} x} dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} - \int \frac {1}{\cos ^ {3} x} dx + \int \frac {1}{\cos x} dx + C

 \displaystyle \Leftrightarrow 2 \int \frac {1}{\cos ^ {3} x} dx = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + \int \frac {1}{\cos x} dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + \int \frac {\cos x}{\cos ^ {2} x} dx + C = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + \int \frac {\cos x}{1 - \sin ^ {2} x} dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + \frac {1}{2} \int {\frac {2}{( 1 - \sin x ) ( 1 + \sin x )}} \cdot {\cos x} dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + \frac {1}{2} \int \left( \frac {1}{1 - \sin x} + \frac {1}{1 + \sin x} \right) {\cos x} dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + \frac {1}{2} \int \left( \frac {\cos x}{1 - \sin x} + \frac {\cos x}{1 + \sin x} \right) dx + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + {\frac {1}{2}} \left( \int \frac {\cos x}{1 - \sin x} dx+ \int \frac {\cos x}{1 + \sin x} dx \right) + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + {\frac {1}{2}} \left\{ - \int \frac { ( 1 - \sin x ) ' }{1 - \sin x} dx+ \int \frac { ( 1 + \sin x ) ' }{1 + \sin x} dx \right\} + C \\ \displaystyle = \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} + {\frac {1}{2}} \left( - \log | 1 - \sin x | + \log | 1 + \sin x | \right) + 2 C \\ \displaystyle = { \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} } + { \frac {1}{4} } \log \frac { | 1 + \sin x | }{ | 1 - \sin x | } + 2 C \\ \displaystyle = { \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} } + { \frac {1}{4} } \log \frac {1 + \sin x}{1 - \sin x} + 2 C \\ \displaystyle \Leftrightarrow \int \frac {1}{\cos ^ {3} x} dx = { \frac {1}{2} } \cdot { \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} } + { \frac {1}{4} } \log \frac {1 + \sin x}{1 - \sin x} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\sin ^ {3} x} dx = - { \frac {1}{2} } \cdot { \frac {\cos x}{\sin ^ {2} x} } - { \frac {1}{4} } \log \frac {1 + \cos x}{1 - \cos x} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^ {4} x} dx = { \frac {1}{3}} \tan ^ {3} x + \tan x + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\sin ^ {4} x} dx = - { \frac {1}{3 \tan ^ {3} x}} - { \frac {1}{\tan x}} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^ {5} x} dx = { \frac {1}{4} } \cdot { \frac {\sin x}{\cos ^ {4} x} } + { \frac {3}{8} } \cdot { \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} } + { \frac {3}{16} } \log \frac {1 + \sin x}{1 - \sin x} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\sin ^ {5} x} dx = - { \frac {1}{4} } \cdot { \frac {\cos x}{\sin ^ {4} x} } - { \frac {3}{8} } \cdot { \frac {\cos x}{\sin ^ {2} x} } - { \frac {3}{16} } \log \frac {1 + \cos x}{1 - \cos x} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^ {7} x} dx = { \frac {1}{6} } \cdot { \frac {\sin x}{\cos ^ {6} x} } + { \frac {5}{24} } \cdot { \frac {\sin x}{\cos ^ {4} x} } + { \frac {15}{48} } \cdot { \frac {\sin x}{\cos ^ {2} x} } + { \frac {15}{96} } \log \frac {1 + \sin x}{1 - \sin x} + C

一般化すると次のように表せる。

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^n x} dx について

 n = 2 m + 1 の時

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^{2 m + 1} x} dx \\ \displaystyle = \sum_{k=1}^{m} {\frac {( 2 m - 1 )!! \left\{ 2 ( m - k ) \right\}!! }{( 2 m )!! \left\{ 2 ( m - k ) + 1 \right\}!!}} \cdot {\frac {\sin x}{\cos ^{2 (m - k + 1)} x}} + {\frac {( 2 m - 1 )!! }{2 \cdot ( 2 m )!! }} \cdot {\log {\frac {1 + \sin x}{1 - \sin x}}} + C

 n = 2 m の時

 \displaystyle \int \frac {1}{\cos ^{2 m} x} dx = \sum_{k=1}^{m} {{\frac {{}_{m - 1}C_{k - 1}}{2 k - 1}} \cdot {\tan ^{2 k - 1} x}} + C

 \displaystyle \int \frac {1}{\sin ^n x} dx について

 n = 2 m + 1 の時

 \displaystyle \int \frac {1}{\sin ^{2 m + 1} x} dx \\ \displaystyle = - \sum_{k=1}^{m} {\frac {( 2 m - 1 )!! \left\{ 2 ( m - k ) \right\}!! }{( 2 m )!! \left\{ 2 ( m - k ) + 1 \right\}!!}} \cdot {\frac {\cos x}{\sin ^{2 (m - k + 1)} x}} - {\frac {( 2 m - 1 )!! }{2 \cdot ( 2 m )!! }} \cdot {\log {\frac {1 + \cos x}{1 - \cos x}}} + C

 n = 2 m の時

 \displaystyle \int \frac {1}{\sin ^{2 m} x} dx = - \sum_{k=1}^{m} {{\frac {{}_{m - 1}C_{k - 1}}{2 k - 1}} \cdot {\frac {1}{\tan ^{2 k - 1} x}}} + C

 


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