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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

{f(x)+f'(x)} e^x 型の積分の公式

tex:\{f(x) + f'(x)\} e^x 数学・幾何学 #練習用

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$\{f(x) + f'(x)\} e^x$ 型の積分の公式です。

導出

積の微分法より、
$\displaystyle \{f(x) e^x \}' = \{f(x) + f'(x)\} e^x$

∴ $\displaystyle \int { \{f(x) + f'(x)\} e^x } dx = f(x) e^x + C$

商の微分法より、

$\displaystyle \left\{ \frac {f(x)}{e^x} \right\}' = \frac {f'(x) e^x - f(x) ( e^x )' }{e^{2 x}} = \frac {f'(x) - f(x)}{e^x} = \left\{ f'(x) - f(x) \right\} e^{- x}$

これは積の微分法と考えても同様の結果が得られる。

$\displaystyle \left\{ f(x) e^{- x} \right\}' = f'(x) e^{- x} + f(x) ( e^{- x} )' = f'(x) e^{- x} - f(x) e^{- x} = \left\{ f'(x) - f(x) \right\} e^{- x}$

∴ $\displaystyle \int \left\{ f'(x) - f(x) \right\} e^{- x} dx = f(x) e^{- x} + C$

これは積の微分法と考えても同様の結果が得られる。

$\displaystyle \left\{ f(x) e^{a x} \right\}' = f'(x) e^{a x} + f(x) ( e^{a x} )' = f'(x) e^{a x} + a f(x) e^{a x} = \left\{ f'(x) + a f(x) \right\} e^{a x}$ 　(a は実数)

∴ $\displaystyle \int \left\{ f'(x) + a f(x) \right\} e^{a x} dx = f(x) e^{a x} + C$ 　(a は実数)

…

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