x^3-2*x のグラフ - CANADA'S WINDVIEW

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Rで描画した3次関数 $y = x^3 - 2 x = f ( x )$ のグラフです。

$y = x^3 - 2 x = x \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x - \sqrt{2} \right)$

より、 $x$ 軸との交点は、

$\left( - \sqrt{2} , 0 \right)$ ， $\left( 0 , 0 \right)$ ， $\left( \sqrt{2} , 0 \right)$

となります。

更に、 $y = f ( x )$ を $x$ で微分すると、

$\displaystyle y ' = f ' ( x ) = 3 x ^ 2 - 2 = 3 \left( x^ 2 - \frac{2}{3} \right) = 3 \left( x + \sqrt{\frac{2}{3}} \right) \left( x - \sqrt{\frac{2}{3}} \right) = 3 \left( x + \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \left( x - \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$
となり、増減表を書くと、

$x$	…	$\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{3}$	…	$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}$	…
$f ' ( x )$	＋	$0$	－	$0$	＋
$f ( x )$	↗	$\displaystyle \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 }$	↘	$\displaystyle - \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 }$	↗

極値の座標は、
$\displaystyle \left( - \frac{ \sqrt{ 6 } }{ 3 } , \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 } \right)$ ， $\displaystyle \left( \frac{ \sqrt{ 6 } }{ 3 } , - \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 } \right)$

Rのコマンド：

curve(x^3 - 2*x, xlim = c(-3,3), ylim = c(-3,3))
arrows(-3.2, 0, 3.2, 0, length=0.2, angle=15)
arrows(0, -3.2, 0, 3.2, length=0.2, angle=15)
text(3, -0.4, expression(italic(x)), cex=2)
text(0.3, 3, expression(italic(y)), cex=2)
text(-0.2, -0.3, "O", cex=2)