CANADA'S WINDVIEW

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余弦定理

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余弦定理

余弦定理の証明(導出)

余弦定理の証明(導出)です。

 \triangle ABC で、 | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{BC} | | \overrightarrow{CA} | \cos A の関係を考えます。

まず、便宜的に点 A を原点 O に取り、 x軸上正の値上に点 B を取ります。それから点 C から AB に降ろした垂線と AB との交点を H とします。

f:id:windview_canada:20220119001206p:plain

余弦定理の導出01

 

 

まず \triangle AHC に注目。

 | \overrightarrow{AH} | = | \overrightarrow{CA} | \cos A \tag{1}  
 | \overrightarrow{CH} | = | \overrightarrow{CA} | \sin A \tag{2}  

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余弦定理の導出02

 

次に \triangle HBC に注目。

 | \overrightarrow{HB} | = | \overrightarrow{AB} | - | \overrightarrow{AH} | = | \overrightarrow{AB} | - | \overrightarrow{CA} | \cos A \tag{3}  

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余弦定理の導出03



 

 \triangle HBC に関して三平方の定理より、
 | \overrightarrow{BC} |^2 = | \overrightarrow{HB} |^2 + | \overrightarrow{CH} |^2 = \left( | \overrightarrow{AB} | - | \overrightarrow{CA} | \cos A \right)^2 + \left( | \overrightarrow{CA} | \sin A  \right)^2 \\ = | \overrightarrow{AB} |^2 - 2 | \overrightarrow{AB} |  | \overrightarrow{CA} | \cos A + | \overrightarrow{CA} |^2 \cos ^{2} A + | \overrightarrow{CA} |^2 \sin ^{2} A \\ = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 \left( \sin ^{2} A + \cos ^{2} A \right) - 2 | \overrightarrow{AB} |  | \overrightarrow{CA} | \cos A \\ = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 - 2 | \overrightarrow{AB} |  | \overrightarrow{CA} | \cos A  
 \therefore | \overrightarrow{BC} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 - 2 | \overrightarrow{AB} |  | \overrightarrow{CA} | \cos A \tag{4}

これがいわゆる余弦定理となります。

 \angle{A} は鈍角の場合でも結果的に同じ式になります。

また、特に  \displaystyle \angle{A} = \frac{\pi}{2} の時(即ち直角三角形の場合)、 \cos A = 0 となり、三平方の定理と同じ式となります。 

 

また、 \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} であり、ベクトルの内積の定義より  \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \cos A なので、

(4)式は次のように表せます。

 | \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} \tag{5}


これと  \overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AC}  | \overrightarrow{CA} | = | \overrightarrow{AC} |  \cos ( \pi - \theta ) = - \cos \theta を考え合わせると、

 | \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{AC} |^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \tag{6}
となり、余弦定理は、ベクトル表現した(5)式の左辺を単にベクトル的に展開しただけとも言えます。

 


3変数の対称式の演習問題

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3変数の対称式の演習問題

3変数の対称式の演習問題です。

 

 x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = x y + z x + y z + x y + z x + y z = 2 ( x y + y z + z x )

 

 \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} = \frac{ x y + y z + z x }{ x y z }


 \displaystyle \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} +\frac{1}{z x} = \frac{ x + y + z }{ x y z }

 

 \displaystyle \frac{ z }{ x y } + \frac{ x }{ y z } + \frac{ y }{ z x } = \frac{ x^2 + y^2 + z^2 }{ x y z } = \frac{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) }{ x y z }

 

 \displaystyle \frac{ y z }{ x } + \frac{ z x }{ y } + \frac{ x y }{ z } = \frac{ x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 }{ x y z } = \frac{ ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x y + y z + z x )^2 }{ x y z }  -2 ( x + y + z )

 

 \displaystyle \frac{ 1 }{ x } \left( \frac{ 1 }{ y }  + \frac{ 1 }{ z }  \right) + \frac{ 1 }{ y } \left( \frac{ 1 }{ z }  + \frac{ 1 }{ x }  \right) + \frac{ 1 }{ z } \left( \frac{ 1 }{ x }  + \frac{ 1 }{ y }  \right) = 2 \left( \frac{ 1 }{ x y }  + \frac{ 1 }{ y z } + \frac{ 1 }{ z x }  \right) = \frac{ 2 ( x + y + z ) }{ x y z }


 \displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} = \left( \frac{1}{x} \right)^2 + \left( \frac{1}{y} \right)^2 + \left( \frac{1}{z} \right)^2 \\ \displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} +\frac{1}{z x}  \right) = \left( \frac{ x y + y z + z x }{ x y z } \right)^2 - 2 \left( \frac{ x + y + z }{ x y z } \right)

 

 \displaystyle \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} +\frac{1}{z^3} = \left( \frac{1}{x} \right)^3 + \left( \frac{1}{y} \right)^3 + \left( \frac{1}{z} \right)^3 \\ \displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) \left\{ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right)^2 - 3 \left( \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} +\frac{1}{z x} \right) \right\} + \frac{3}{x y z} \\ \displaystyle = \left( \frac{ x y + y z + z x }{ x y z } \right) \left\{ \left( \frac{ x y + y z + z x }{ x y z } \right)^2 - 3 \left( \frac{ x + y + z }{ x y z } \right) \right\} + \frac{3}{x y z}

 

 x^4 + y^4 + z^4 = \left( x^2 \right)^2 + \left( y^2 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 = \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^2 - 2 \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) \\ = \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\}^2 - 2 \left\{ ( x y )^2 + ( y z )^2 + ( z x )^2  \right\} \\ = \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\}^2 - 2 \left\{  ( x y + y z + z x )^2 - 2 \left( x y^2 z + x y z^2 + x^2 y z \right) \right\} \\ = \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\}^2 - 2 \left\{  ( x y + y z + z x )^2 - 2 x y z ( x + y + z ) \right\}

 

 \displaystyle \frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4} +\frac{1}{z^4} = \left( \frac{1}{x} \right)^4 + \left( \frac{1}{y} \right)^4 + \left( \frac{1}{z} \right)^4 \\ \displaystyle = \left\{ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right)^2 -2 \left( \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} +\frac{1}{z x} \right) \right\}^2 - 2 \left\{ \left( \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} +\frac{1}{z x} \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{x y z} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) \right\} \\ \displaystyle = \left\{ \left( \frac{x y + y z + z x}{x y z}\right)^2 -2 \left( \frac{x + y + z}{x y z} \right) \right\}^2 - 2 \left\{ \left( \frac{x + y + z}{x y z} \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{x y z} \cdot \left( \frac{x y + y z + z x}{x y z} \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{ ( x y z )^2} \left[ \left\{ \frac{1}{x y z} ( x y + y z + z x )^2 - 2 ( x + y + z ) \right\}^2 - 2\left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\} \right]

 

 ( x + y ) ( y + z ) + ( y + z ) ( z + x ) + ( z + x ) ( x + y ) \\ = x^2 + ( y + z ) x + y z + y^2 + ( z + x ) y + z x + z^2 + ( x + y ) z + x y \\ = ( x + y + z ) x + ( x + y + z ) y + ( x + y + z ) z + ( x y + y z + z x ) \\ = ( x + y + z )^2 + ( x y + y z + z x )

 

 ( x + y )^2 + ( y + z )^2 + ( z + x )^2 = x^2 + 2 x y + y^2 + y^2 + 2 y z + z^2 + z^2 + 2 z x + z^2 \\ = 2 \left( x^2 + y^2 + z^2 + x y + y z + z x \right) = 2 \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) + ( x y + y z + z x ) \right\}  \\ = 2 \left\{ ( x + y + z )^2 - ( x y + y z + z x ) \right\}

 

 ( x + y )^3 + ( y + z )^3 + ( z + x )^3 = ( x + y + z ) \left\{ 2 ( x + y + z )^2 - 3 ( x y + y z + z x ) \right\} - 3 x y z

 

 ( x - y )^2 + ( y - z )^2 + ( z - x )^2 = x^2 - 2 x y + y^2 + y^2 - 2 y z + z^2 + z^2 - 2 z x + x^2 \\ \displaystyle = 2 \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - 2 \left( x y + y z + z x \right) = 2 \left\{ x^2 + y^2 + z^2 - \left( x y + y z + z x \right) \right\} \\ \displaystyle = 2 \left\{ \left( x + y + z \right)^2 - 2 \left( x y + y z + z x \right) - \left( x y + y z + z x \right) \right\}  \\ \displaystyle = 2 \left\{ \left( x + y + z \right)^2 - 3 \left( x y + y z + z x \right) \right\}  

 

 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) = ( x y + y^2 + z x + y z ) ( z + x ) \\ = x y z + y^2 z + z^2 x + y z^2 + x^2 y + x y^2 + z x^2 + x y z = x^2 ( y + z ) + y^2 ( z + x ) + z^2 ( x + y ) + 2 x y z \\ = x^2 ( x + y + z ) + y^2 ( x + y + z ) + z^2 ( x + y + z ) - \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) + 2 x y z \\ = ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) + 2 x y z \\ = ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - \left[ ( x + y + z ) \left\{ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - \left( x y + y z + z x \right)  \right\} + 3 x y z \right] + 2 x y z \\ = ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) - ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - 3 x y z + 2 x y z  \\ = ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - x y z

 

 \displaystyle \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \left( \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \right) = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) \left( \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} +\frac{1}{z x} \right) - \frac{1}{ x y z }  \\ \displaystyle = \frac{x y + y z + z x}{x y z} \cdot \frac{x + y + z}{x y z} - \frac{x y z}{ ( x y z )^2 } \\ \displaystyle = \frac{1}{( x y z )^2} \left\{ ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - x y z  \right\}

 

 ( x + y ) y + ( y + z ) z + ( z + x ) x = x^2 + y^2 + z^2 + x y + y z + z x \\ = ( x + y + z )^2 -2 ( x y + y z + z x ) + ( x y + y z + z x ) = ( x + y + z )^2 - ( x y + y z + z x )

 

 x y ( x + y ) + y z ( y + z ) + z x ( z + x ) \\ = x y ( x + y + z ) + y z ( x + y + z ) + z x ( x + y + z ) - ( x y z + x y z + x y z ) \\ = ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - 3 x y z

 

 \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) = x^2 \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) + y^2 \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) + z^2 \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) \\ = x^5 + x^2 y^3 + z^3 x^2 + x^3 y^2 + y^5 + y^2 z^3 + z^2 x^3 + y^3 z^2 + z^5 \\ = x^5 + y^5 + z^5 + x^2 y^2 ( x + y + z ) + y^2 z^2 ( x + y + z ) + z^2 x^2 ( x + y + z ) - \left( x^2 y^2 z + x y^2 z^2 + x^2 y z^2 \right) \\ = x^5 + y^5 + z^5 + \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) ( x + y + z ) - x y z ( x y + y z + z x )  \\ \Leftrightarrow x^5 + y^5 + z^5 = \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) - \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) ( x + y + z ) + x y z ( x y + y z + z x ) \\ = \left[ ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 3 ( x y + y z + z x ) \right\} + 3 x y z \right] \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\} \\ - ( x y + y z + z x )^2 + 2 x y z ( x + y + z ) + x y z ( x y + y z + z x )

 

 x^6 + y^6 + z^6 = \left( x^2 \right)^3 + \left( y^2 \right)^3 + \left( z^2 \right)^3 \\ = \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \left\{ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^2 - 3 \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) \right\}  + 3 x^2 y^2 z^2 \\ = \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\} \left[ \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\}^2 - 3 \left\{ ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z ) \right\} \right] \\+ 3 ( x y z )^2

 

 x^3 y^3 + y^3 z^3 + z^3 x^3 = ( x y )^3 + ( y z )^3 + (z x )^3 \\ = ( x y + y z + z x ) \left\{ ( x y + y z + z x )^2 - 3 ( x y \cdot y z + y z \cdot z x + z x \cdot x y ) \right\} + 3 x y \cdot y z \cdot z x \\ = ( x y + y z + z x ) \left\{ ( x y + y z + z x )^2 - 3 x y z ( x + y + z ) \right\} + 3 ( x y z )^2

 

 \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) \left( x^4 + y^4 + z^4 \right) = x^3 \left( x^4 + y^4 + z^4 \right) + y^3 \left( x^4 + y^4 + z^4 \right) + x^3 \left( x^4 + y^4 + z^4 \right) \\ = x^7 + x^3 y^4 + z^4 x^3 + x^4 y^3 + y^7 + y^3 z^4 + z^3 x^4 + y^4 z^3 + z^7 \\ = x^7 + y^7 + z^7 + x^3 y^3 ( x + y + z ) + y^3 z^3 ( x + y + z ) + z^3 x^3 ( x + y + z ) - \left( x^3 y^3 z + x y^3 z^3 + x^3 y z^3  \right) \\ = x^7 + y^7 + z^7 + \left( x^3 y^3 + y^3 z^3 + z^3 x^3 \right) ( x + y + z ) - x y z \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) \\ \Leftrightarrow x^7 + y^7 + z^7 = \left( x^3 + y^3 + z^3 \right) \left( x^4 + y^4 + z^4 \right) - ( x + y + z )  \left( x^3 y^3 + y^3 z^3 + z^3 x^3 \right) + x y z \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) \\ = \left[ ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 3 ( x y + y z + z x ) \right\}  + 3 x y z \right] \\ \cdot \left[  \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\}^2 - 2 \left\{  ( x y + y z + z x )^2 - 2 x y z ( x + y + z ) \right\}  \right] \\ - ( x + y + z ) \left[ ( x y + y z + z x ) \left\{ ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z ) \right\} + 3 ( x y z )^2 \right] \\ + x y z \left\{ ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z ) \right\}

 

 \displaystyle \frac{ y + z }{ x } + \frac{ z + x }{ y } +\frac{ x + y }{ z } = \frac{ x y ( x + y ) + y z ( y + z ) + z x ( z + x ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ x y ( x + y + z ) + y z ( x + y + z ) + z x ( x + y + z ) - ( x y z + x y z + x y z ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x y + y z + z x ) ( x + y + z ) - 3 x y z }{ x y z } = \frac{ ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) }{ x y z } - 3

 

 \displaystyle \frac{ ( y + z )^2 }{ x } + \frac{ ( z + x )^2 }{ y } +\frac{ ( x + y )^2 }{ z } = \frac{ x y ( x + y )^2 + y z ( y + z )^2 + z x ( z + x )^2  }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ x y \left( x^2 + 2 x y + y^2 \right) + y z \left( y^2 + 2 y z + z^2 \right) + z x \left( z^2 + 2 z x + x^2 \right) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ x y \left( x^2 + y^2 \right) + y z \left( y^2 + z^2 \right) + z x \left( z^2 + x^2 \right) + 2 x^2 y^2 + 2 y^2 z^2 + 2 z^2 x^2 }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ x y \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + y z \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + z x \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + 2 \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) - \left( x^2 y z + x y^2 z + x y z^2 \right) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x y + y z + z x ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + 2 \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) - x y z ( x + y + z ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x y + y z + z x ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\} + 2 \left\{ ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z ) \right\} - x y z ( x + y + z ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x y + y z + z x ) ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x )^2 + 2 ( x y + y z + z x )^2 - 4 x y z ( x + y + z ) - x y z ( x + y + z ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x y + y z + z x ) ( x + y + z )^2 - 5 x y z ( x + y + z ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z )^2 ( x y + y z + z x ) }{ x y z } - 5 ( x + y + z )

 

 \displaystyle \frac{ y + z }{ x^2 } + \frac{ z + x }{ y^2 } +\frac{ x + y }{ z^2 } = \frac{ x^2 y^2 ( x + y ) + y^2 z^2 ( y + z ) + z^2 x^2 ( z + x ) }{ x^2 y^2 z^2 } \\ \displaystyle = \frac{ x^2 y^2 ( x + y + z ) + y^2 z^2 ( x + y + z ) + z^2 x^2 ( x + y + z ) - \left( x^2 y^2 z + x y^2 z^2 + x^2 y z^2  \right) }{ ( x y z )^2 } \\ \displaystyle = \frac{ \left( x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2  \right) ( x + y + z ) - x y z ( x y + y z + z x )  }{ ( x y z )^2 } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) \left\{ ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z )  \right\}  - x y z ( x y + y z + z x )  }{ ( x y z )^2 }  \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) ( x y + y z + z x )^2 -2 x y z ( x + y + z )^2 - x y z ( x y + y z + z x )  }{ ( x y z )^2 } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) ( x y + y z + z x )^2 }{ ( x y z )^2 } - \frac{ 2 ( x + y + z )^2 + ( x y + y z + z x ) }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ x y z } \left[ \frac{ ( x + y + z ) ( x y + y z + z x )^2 }{ x y z } - \left\{ 2 ( x + y + z )^2 + ( x y + y z + z x ) \right\} \right]

 

 \displaystyle \frac{ y + z }{ x } \cdot \frac{ z + x }{ y } + \frac{ z + x }{ y } \cdot \frac{ x + y }{ z } + \frac{ x + y }{ z } \cdot \frac{ y + z }{ x } \\ \displaystyle = \frac{ x ( x + y ) ( z + x ) + y  ( y + z )  ( x + y ) + z ( z + x ) ( y + z )  }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ x \left\{ x^2 + ( y + z ) x + y z  \right\} + y \left\{ y^2 + ( z + x ) y + z x \right\} + z \left\{ z^2 + ( x + y ) z + x y \right\}  }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ x \left\{ (x + y + z ) x + y z  \right\} + y \left\{ (x + y + z ) y + z x \right\} + z \left\{ (x + y + z ) z + x y \right\} }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ (x + y + z ) x^2 + x y z + (x + y + z ) y^2 + x y z + (x + y + z ) z^2 + x y z }{ x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + 3 x y z }{ x y z ) } = \frac{ ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\} + 3 x y z }{ ( x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\}  }{ x y z } + 3

 

 \displaystyle \frac{ x }{ y + z } + \frac{ y }{ z + x } +\frac{ z }{ x + y } = \frac{ x ( x + y ) ( z + x ) + y  ( y + z )  ( x + y ) + z ( z + x ) ( y + z ) }{ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) } \\ \displaystyle = \frac{ x \left\{ x^2 + ( y + z ) x + y z  \right\} + y \left\{ y^2 + ( z + x ) y + z x \right\} + z \left\{ z^2 + ( x + y ) z + x y \right\}  }{ \left\{ x^2 + x y + z x + y z \right\} ( y + z ) } \\ \displaystyle = \frac{ x \left\{ (x + y + z ) x + y z  \right\} + y \left\{ (x + y + z ) y + z x \right\} + z \left\{ (x + y + z ) z + x y \right\} }{ x^2 y + x y^2 + x y z + y^2 z + z x^2 + x y z + z^2 x + y z^2 } \\ \displaystyle = \frac{ (x + y + z ) x^2 + x y z + (x + y + z ) y^2 + x y z + (x + y + z ) z^2 + x y z }{ x y ( x + y ) + y z ( y + z ) + z x ( z + x ) + 2 x y z } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + 3 x y z }{ x y ( x + y + z ) + y z ( x + y + z ) + z x ( x + y + z ) + 2 x y z - ( x y z + x y z + x y z ) } \\ \displaystyle = \frac{ ( x + y + z ) \left\{ ( x + y + z )^2 - 2 ( x y + y z + z x ) \right\} + 3 x y z }{ ( x + y + z ) ( x y + y z + z x ) - x y z }

 


蒲(ガマ)の穂

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蒲の穂 20220116_01

20220116日 晴れ 11⇔0 西北西2

西尾いきものふれあいの里の池の(ガマ)の穂です。風が吹くと、綿毛となって飛んでいきます。初冬に実ったばかりの蒲の穂は、まだ硬くて全然飛んでいく気がしなかったですが、この時期に飛んでいくんですね。

 

花粉は、蒲黄(ホオウ)という生薬になります。止血、通経、利尿等の作用があります。
日本最古の歴史書古事記」に収載される「因幡(いなば)白兎(しろうさぎ)」でもこれが薬草として使用されたことが記載されています。

 


池の氷

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池の氷 20220116_01

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池の氷 20220116_02

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池の氷 20220116_03

20220116日 晴れ 11⇔0 西北西2

西尾いきものふれあいの里の池に氷が張っていました。

子供達は池に氷が張っているのを見るのは珍しいらしく、後でこの氷を棒切れで割って丁度良い欠片を作っては、投げたりして遊んでいました。

 


富士山

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富士山 20220109_01

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富士山 20220109_02

20220109 晴れ 14⇔1 西北西1 海抜118m

静岡県富士宮市にある駿河國一宮 富士山本宮 淺間大社から見た富士山です。

今年は2年ぶりの訪問となりましたが、天気も良く、富士山もはっきり拝ませて頂きました。しかしながら今冬は既に2度程積雪があったものの、その割には冠雪は少ないように思いました。

 


🔥ウォーキング+ランニングの距離 3.1km
🔥歩数 5,216歩
🔥登った階数 2階

<関連>
富士山本宮 淺間大社 (20220109)
初日の出 (20220101)
富士山 (20170109)

富士山本宮 淺間大社

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富士山本宮 淺間大社 20220109_01

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富士山本宮 淺間大社 20220109_02

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富士山本宮 淺間大社 20220109_03

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富士山本宮 淺間大社 20220109_04

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富士山本宮 淺間大社 20220109_05

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富士山本宮 淺間大社 20220109_05

20220109 晴れ 14⇔1 西北西1 海抜118m

静岡県富士宮市にある駿河國一宮 富士山本宮 淺間大社です。

毎年年始めにこの淺間大社に御祈禱に訪れるのが恒例となっていましたが、昨年はコロナで県を跨いでの移動を控えなければなりませんでしたので、お休みさせてもらいました。

富士山本宮 淺間大社は全国に約1,300箇所ある浅間神社の総本社で、富士山信仰の中心地となっています。

主祭神は、木花之佐久夜毘売命(このはなさくやひめのみこと)とされています。

 


<関連>
富士山 (20170109)

書初め

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書初め練習_花さく里_01

20220108土 晴れ 9⇔0 北西3

長男が書初めの練習をしていて書道用具が展開してあったので、家内と出掛けた隙に、ちょっと書いてみました。他人が書いているのを見ると、簡単に書けそうですが、実際自分で書くとなかなか難しいですね。

私は書道家でもないですし、書道教室も小1から小3くらいまで通って辞めてしまったので、ほぼ素人です。

でも長男が学校で貰った御手本とやらも、こう言っては何ですがあまりしっくり来るものではなかったので、手本作成も兼ねて書いてみたという感じです。

長男は最近自分から言い出して書道教室に通い出したのですが、まだまだ長男には負けないです。(いつか負けるのでしょうが…)

 

話しは戻って、今回の字ですが、漢字とひらがなでは漢字は一回り大きめに書いた方が全体のバランスが良くなります。

特に「花」という字はしっかり書かないといけないと思いますが、意外と纏め方が難しいですね。「花」がこの四文字の中では勝負どころの字ではないかなと思います。

あと「止め」「跳ね」「払い」はしっかりというのは基本と思います。

それから二度書きは禁止(繕ってもプロが見ればすぐ判る)、余白部分を墨で汚さない、出来るだけかすれない等が注意点でしょうか。これは小学校の時にそう言われたのを覚えています。

それから学年・氏名を書く欄ですが、賞を貰っている優秀作品を見ると、わざわざ空けてないですね。最後に空いたところに書いている印象です。ということは、全体的にもう少し大きく書けるということですね。