CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

数学・幾何学

第一種チェビシェフの多項式のグラフ

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 第一種チェビシェフの多項式のグラフ チェビシェフの多項式グラフ T1~T10 → GeoGebraで表示してみる 第一種チェビシェフの多項式では、奇函数、偶函数が交互に現れます…

数列 - 2項間漸化式(特性方程式)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 数列 - 2項間漸化式(特性方程式) 2項間漸化式の一般項 数列の2項間漸化式の解法で、特性方程式を用いるタイプです。 という関係を持つ数列 の一般項を求めます。 という…

単位行列とその逆行列

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 単位行列とその逆行列 単位行列 単位行列 単位行列とは、対角成分が でそれ以外の成分が である正方行列のことです。 とか と置くことが多いです。 具体的には 行列の場…

行列の和・差・スカラー倍・積・冪乗

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 行列の和・差・スカラー倍・積・冪乗 行列の和差・スカラー倍・積・冪乗 行列の和・差 行列の和・差の演算操作を行うためには行列の行数と列数が同じである必要がありま…

回転行列

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 回転行列 回転行列 点 を極座標表示すると、例えば となります。これは原点 からの距離を ,線分 と軸の正の部分との成す角を (左回り)としています。 即ち、 $$ \begin…

行列式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 行列式 行列(次正方行列)の行列式 行列 $$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$ に対して $$ \displayst…

第一種チェビシェフの多項式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 第一種チェビシェフの多項式 第一種チェビシェフの多項式 を満たす 次多項式 が存在し、その係数は全て整数であり、その最高次係数が である。 自然数 に対し、 は の次…

三角関数 - n倍角の公式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 三角関数 - n倍角の公式 三角関数のn倍角の公式を の場合を順番に求めたわけですが、ここでこれらをオイラーの公式とド・モアブルの定理を用いて一般化することを考えま…

三角関数 - 9倍角の公式(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 三角関数 - 9倍角の公式(2) ド・モアブルの公式から導出する9倍角の公式 三角関数の9倍角の公式をド・モアブルの定理を用いて導出します。 展開時の係数は、パスカルの…

ド・モアブルの定理(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] ド・モアブルの定理(2) オイラーの公式から導出するド・モアブルの定理 ド・モアブルの定理をオイラーの公式から導出する方法です。 オイラーの公式 に於いて、 と置く…

三角関数 - 8倍角の公式(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 三角関数 - 8倍角の公式(2) ド・モアブルの公式から導出する8倍角の公式 三角関数の8倍角の公式をド・モアブルの定理を用いて導出します。 展開時の係数は、パスカルの…

三角関数 - 6倍角の公式(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 三角関数 - 6倍角の公式(2) ド・モアブルの公式から導出する6倍角の公式 三角関数の6倍角の公式をド・モアブルの定理を用いて導出します。 展開時の係数は、パスカルの…

正五角形と黄金比(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 正五角形と黄金比(2) 正五角形と対角線 (2) 一辺の長さが の正五角形 の対角線 の長さ を求めるもう一つのアプローチです。 先ず、 と の交点を とします。 そうすると…

正五角形と黄金比

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 正五角形と黄金比 正五角形と対角線と黄金比 01 正五角形と対角線 一辺の長さが の正五角形 の対角線 の長さ を求めます。 先ず、 と の交点を とします。 そうすると、…

綿棒で正二十面体

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 綿棒で正二十面体 綿棒で正二十面体01 綿棒で正二十面体02 綿棒で正二十面体03 綿棒で正二十面体04 綿棒で正二十面体05 綿棒で正二十面体06 綿棒で正二十面体07 2022020…

正十二面体の体積を求める(GeoGebra)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 正十二面体の体積を求める(GeoGebra) 黄金比 の処理 黄金比 は、 二次方程式 の正の解なので、 が成り立ちます。 これより、 また、(2)の両辺を で割って、 更に、 と順…

GeoGebraで正十二面体

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] GeoGebraで正十二面体 GeoGebraで正十二面体を描いて(プロットして)みました。 正十二面体01 → 立体で表示してみる 正十二面体02 正十二面体03 正十二面体04 座標は、 …

正二十面体の体積を求める(GeoGebra)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 正二十面体の体積を求める(GeoGebra) 一辺の長さが の正二十面体の体積 を求めることを考えます。 まずは、一辺の長さが の正二十面体 を描きます。座標は次の通り。 の…

GeoGebraで正二十面体

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] GeoGebraで正二十面体 GeoGebraで正二十面体を描いて(プロットして)みました。 正二十面体01 → 立体で表示してみる 正二十面体02 正二十面体03 座標は、 の平面上に、点…

三角形の重心とベクトル

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 三角形の重心とベクトル の重心をとして、 を考えます。 三角形の重心とベクトル01 点 は の重心なので、 (1),(2)より、 両辺2乗して、 また、より、両辺2乗して、 (4)…

ベクトルの大きさ

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] ベクトルの大きさ; ベクトルの大きさ ベクトルの内積の定義より、 より、 と置くと、 よって、 の大きさ は、 3次元(空間)でも同様に、 と置くと、 となり、 の大きさ …

ベクトルの内積の成分表示

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] ベクトルの内積の成分表示 余弦定理の導出(証明)のページで を考えた時に次の関係式が成り立つことが判っています。 2次元(平面)に於けるベクトルの内積の成分表示 , と…

余弦定理

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 余弦定理 余弦定理の証明(導出) 余弦定理の証明(導出)です。 で、,, と の関係を考えます。 まず、便宜的に点 を原点 に取り、軸上正の値上に点 を取ります。それから…

3変数の対称式の演習問題

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 3変数の対称式の演習問題 3変数の対称式の演習問題です。 <関連> 3変数の対称式の基本 2変数の対称式(x^n)+1/(x^n)型の対称式 式の展開、因数分解 二項定理 パスカル…

点と直線の距離(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 点と直線の距離(2) 平面上の直線(1) と点 の距離 を求めます。 の条件で、 点と直線の距離 (2) 点 を通り直線(1) に平行な直線(2) を考えると、直線(2) の方程式は、 ま…

累乗の和 - 八乗和の公式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 累乗の和 - 八乗和の公式 八乗和の公式 八乗和の公式の導出です。 更に(1)と、七乗和、六乗和、五乗和、四乗和、三乗和、二乗和の公式から、 <関連> 九乗和の公式 七…

累乗の和 - 四乗和の公式(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 累乗の和 - 四乗和の公式(2) 四乗和の公式の導出です。 を考えます。 (1)をそのまま展開すると、 (1)の和を考えると、 これと、(2)の和が等しいので、 これと、三乗和、…

累乗の和 - 二乗和の公式(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 累乗の和 - 二乗和の公式(2) 二乗和の公式(2) 二乗和の公式の導出です。 を考えます。 (1)をそのまま展開すると、 (1)の和を考えると、 これと、(2)の和が等しいので、 …

累乗の和 - 三乗和の公式(3)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 累乗の和 - 三乗和の公式(3) 三乗和の公式 (3) 三乗和の公式の導出です。 を考えます。 (1)をそのまま展開すると、 (1)の和を考えると、 これと、(2)の和が等しいので、…

累乗の和 - 三乗和の公式(2)

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電] 累乗の和 - 三乗和の公式(2) 三乗和の公式 (2) 三乗和の公式の導出です。 を考えます。 (1)をそのまま展開すると、 (1)の和を考えると、 これと、(2)の和が等しいので、…