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三角形の重心とベクトル

$\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right|$

$\triangle{ABC}$ の重心を $G$ として、 $\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right|$ を考えます。

f:id:windview_canada:20220126225442p:plain — 三角形の重心とベクトル01

$\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right| = \left| - \overrightarrow{AG} \right| = \left| \overrightarrow{AG} \right| \tag{1}$

点 $G$ は $\triangle{ABC}$ の重心なので、

$\displaystyle \overrightarrow{AG} = \frac{ \overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} }{ 3 } = \frac{ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} }{ 3 } \tag{2}$

(1)，(2)より、
$\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right| = \left| \frac{ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} }{ 3 } \right| \tag{3}$

両辺2乗して、
$\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right|^2 = \left| \frac{ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} }{ 3 } \right|^2 = \frac{ 1 }{ 9 } \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right|^2 = \frac{ 1 }{ 9 } \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) \cdot \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 9 } \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right) = \frac{ 1 }{ 9 } \left( \left| \overrightarrow{AB} \right|^2 + \left| \overrightarrow{AC} \right|^2 + 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)$
$\displaystyle = \frac{ 1 }{ 9 } \left( b^2 + c^2 + 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right) \tag{4}$

また、
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$
より、両辺2乗して、
$\displaystyle \left| \overrightarrow{BC} \right|^2 = \left| \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right|^2 = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\ \displaystyle = \left| \overrightarrow{AC} \right|^2 + \left| \overrightarrow{AB} \right|^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
$\displaystyle \Leftrightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = b^2 + c^2 - a^2 \tag{5}$

(4)へ(5)を代入して、
$\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right|^2 = \frac{ 1 }{ 9 } \left( b^2 + c^2 + b^2 + c^2 - a^2 \right) = \frac{ 1 }{ 9 } \left( - a^2 + 2 b^2 + 2 c^2 \right)$

$\displaystyle \left| \overrightarrow{GA} \right| \geq 0$ より、

$\displaystyle \therefore \left| \overrightarrow{GA} \right| = \frac{ 1 }{ 3 } \sqrt{ - a^2 + 2 b^2 + 2 c^2 } \tag{6}$

同様にして、次も成り立ちます。

$\displaystyle \left| \overrightarrow{GB} \right| = \frac{ 1 }{ 3 } \sqrt{ - b^2 + 2 c^2 + 2 a^2 } \tag{7}$

$\displaystyle \left| \overrightarrow{GC} \right| = \frac{ 1 }{ 3 } \sqrt{ - c^2 + 2 a^2 + 2 b^2 } \tag{8}$

$\displaystyle \overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{GC}$

次に、 $\displaystyle \overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{GC}$ を求めることを考えます。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{GC} - \overrightarrow{GB}$
より、両辺2乗して、
$\displaystyle \left| \overrightarrow{BC} \right|^2 = \left| \overrightarrow{GC} - \overrightarrow{GB} \right|^2 = \left| \overrightarrow{GC} \right|^2 + \left| \overrightarrow{GB} \right|^2 - 2 \overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{GC} \tag{9}$

これと、(7)，(8)より、

$\displaystyle a^2 = \frac{ 1 }{ 9 } \left( - b^2 + 2 c^2 + 2 a^2 \right) + \frac{ 1 }{ 9 } \left( - c^2 + 2 a^2 + 2 b^2 \right) - 2 \overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{GC} \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{GC} = \frac{ 1 }{ 9 } \left( - b^2 + 2 c^2 + 2 a^2 - c^2 + 2 a^2 + 2 b^2 - 9 a^2 \right) = \frac{ 1 }{ 9 } \left( - 5 a^2 + b^2 + c^2 \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{GC} = \frac{ 1 }{ 18 } \left( - 5 a^2 + b^2 + c^2 \right) \tag{10}$

同様にして、次も成り立ちます。

$\displaystyle \overrightarrow{GC} \cdot \overrightarrow{GA} = \frac{ 1 }{ 18 } \left( - 5 b^2 + c^2 + a^2 \right) \tag{11}$

$\displaystyle \overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB} = \frac{ 1 }{ 18 } \left( - 5 c^2 + a^2 + b^2 \right) \tag{12}$

$\displaystyle \overrightarrow{GA}$ ， $\displaystyle \overrightarrow{GB}$ ， $\displaystyle \overrightarrow{GC}$ のうちのどれか2つのベクトルの内積が判ると、その2つのベクトルの成す角が決まってくるという話ですね。