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行列式

$2 \times 2$ 行列( $2$ 次正方行列)の行列式

$2 \times 2$ 行列

$$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$

に対して

$$ \displaystyle | \mathbf{A} | = \det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$

$\displaystyle = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$

$3 \times 3$ 行列( $3$ 次正方行列)の行列式

$3 \times 3$ 行列

$$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

に対して

$$ \displaystyle | \mathbf{A} | = \det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{12} \begin{vmatrix} a_{23} & a_{21} \\ a_{33} & a_{31} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $$
$\displaystyle = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$

$4 \times 4$ 行列( $4$ 次正方行列)の行列式

$4 \times 4$ 行列

$$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} $$

に対して

$$ \displaystyle | \mathbf{A} | = \det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $$

$$= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} + a_{12} \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24} & a_{21} \\ a_{33} & a_{34} & a_{31} \\ a_{43} & a_{44} & a_{41} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{24} & a_{21} & a_{22} \\ a_{34} & a_{31} & a_{32} \\ a_{44} & a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} + a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} $$

$$ = a_{11} \left( a_{22} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} + a_{23} \begin{vmatrix} a_{34} & a_{32} \\ a_{44} & a_{42} \end{vmatrix} + a_{24} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33} \\ a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} \right) $$

$$ + a_{12} \left( a_{23} \begin{vmatrix} a_{34} & a_{31} \\ a_{44} & a_{41} \end{vmatrix} + a_{24} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33} \\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} + a_{21} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \right) $$

$$ + a_{13} \left( a_{24} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32} \\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} + a_{21} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34} \\ a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} + a_{22} \begin{vmatrix} a_{34} & a_{31} \\ a_{44} & a_{41} \end{vmatrix} \right) $$

$$ + a_{14} \left( a_{21} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33} \\ a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} + a_{22} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{31} \\ a_{43} & a_{41} \end{vmatrix} + a_{23} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32} \\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} \right) $$

$= a_{11} ( a_{22} a_{33} a_{44} - a_{22} a_{34} a_{43} + a_{23} a_{34} a_{42} - a_{23} a_{32} a_{44} + a_{24} a_{32} a_{43} - a_{24} a_{33} a_{42} ) \\ + a_{12} ( a_{23} a_{34} a_{41} - a_{23} a_{31} a_{44} + a_{24} a_{31} a_{43} - a_{24} a_{33} a_{41} + a_{21} a_{33} a_{44} - a_{21} a_{34} a_{43} ) \\ + a_{13} ( a_{24} a_{31} a_{42} - a_{24} a_{32} a_{41} + a_{21} a_{32} a_{44} - a_{21} a_{34} a_{42} + a_{22} a_{34} a_{41} - a_{22} a_{31} a_{44} ) \\ + a_{14} ( a_{21} a_{32} a_{43} - a_{21} a_{33} a_{42} + a_{22} a_{33} a_{41} - a_{22} a_{31} a_{43} + a_{23} a_{31} a_{42} - a_{23} a_{32} a_{41} )$

$n \times n$ 行列( $n$ 次正方行列)の行列式

$n \times n$ 行列の場合の行列式は $n !$ 項出て来ることになるため、 $4 \times 4$ 以上の行列の行列式の計算は指数関数的に大変になってきます。

一般的に $\mathbf{A}$ が $n \times n$ 行列で、 $\mathbf{A}$ の $i j$ 成分を $a_{i j}$ と表現すると $\mathbf{A}$ の行列式は次の式で定義されます。

$\displaystyle \det \mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} sgn ( \sigma ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i \sigma ( i )} = \sum_{\sigma \in S_n} sgn ( \sigma ) a_{1 \sigma (1)} a_{2 \sigma (2)} \cdots a_{n \sigma (n)}$