カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]

回転行列

点 $A ( x , y )$ を極座標表示すると、例えば $( r \cos \alpha , r \sin \alpha )$ となります。これは原点 $O$ からの距離を $r$ ，線分 $OA$ と $x$ 軸の正の部分との成す角を $\alpha$ (左回り)としています。

即ち、

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \cos \alpha \\ r \sin \alpha \end{bmatrix} $$

$\tag{1}$

と表現できます。

次に点 $A ( x , y )$ を原点左周りに $\theta$ 回転移動した点 $A' ( x ' , y ' )$ を考えます。

点 $A'$ を極座標表示すると、 $( r \cos ( \alpha + \theta ) , r \sin ( \alpha + \theta ) )$ となります。

$$ \begin{bmatrix} x ' \\ y ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \cos ( \alpha + \theta ) \\ r \sin ( \alpha + \theta ) \end{bmatrix} $$

$\tag{2}$

加法定理を適用して展開すると

$$ \begin{bmatrix} x ' \\ y ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r ( \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta ) \\ r ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta ( r \cos \alpha ) + ( - \sin \theta ) ( r \sin \alpha ) \\ \sin \theta ( r \cos \alpha ) + \cos \theta ( r \sin \alpha ) \end{bmatrix} $$

$$ = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \cos \alpha \\ r \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

拠って

$$ \mathbf{R}_{\theta}= \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$

$\tag{3}$