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第一種チェビシェフの多項式

$\cos n\theta = T_n ( \cos \theta )$ を満たす $n$ 次多項式 $T_n ( x )$ が存在し、その係数は全て整数であり、その最高次係数が $2^{n - 1}$ である。

自然数 $n$ に対し、 $\cos n \theta$ は $\cos \theta$ の $n$ 次式で表せることが知られています。

それを $\cos n \theta = T_n ( \cos \theta )$ とし、且つ $\cos \theta = x$ と置くと、

$T_1 ( x ) = x$

$T_2 ( x ) = 2 x^{2} - 1$

$T_3 ( x ) = 4 x^{3} - 3 x$

$T_4 ( x ) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$

$T_5 ( x ) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$

$T_6 ( x ) = 32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1$

$T_7 ( x ) = 64 x^{7} - 112 x^{5} + 56 x^{3} - 7 x$

$T_8 ( x ) = 128 x^{8} - 256 x^{6} + 160 x^{4} - 32 x^{2} + 1$

$T_9 ( x ) = 256 x^{9} - 576 x^{7} + 432 x^{5} - 120 x^{3} + 9 x$

$T_{10} ( x ) = 512 x^{10} - 1280 x^{8} + 1120 x^{6} - 400 x^{4} + 50 x^{2} - 1$

$\vdots$

と表せます。

これを第一種チェビシェフの多項式と言います。

漸化式の導出

三項間漸化式の導出

これだけ見てもなかなかピンと来ないですが、これらは漸化式 $T_{n + 1} ( x ) = 2 x T_{n} ( x ) - T_{n - 1} ( x )$ を満たすことも知られています。

以下この漸化式を導出します。

$\cos ( n + 1 ) \theta$ と $\cos ( n - 1 ) \theta$ で加法定理を適用します。

$\cos ( n + 1 ) \theta = \cos ( n \theta + \theta ) = \cos n \theta \cos \theta - \sin n \theta \sin \theta \tag{1}$

$\cos ( n - 1 ) \theta = \cos ( n \theta - \theta ) = \cos n \theta \cos \theta + \sin n \theta \sin \theta \tag{2}$

$(1) + (2)$ より、

$\cos ( n + 1 ) \theta + \cos ( n - 1 ) \theta = 2 \cos n \theta \cos \theta \\ \Leftrightarrow \cos ( n + 1 ) \theta = 2 \cos n \theta \cos \theta - \cos ( n - 1 ) \theta$

即ち、

$T_{n + 1} ( x ) = 2 x T_{n} ( x ) - T_{n - 1} ( x ) \tag{3}$

と表せます。

実際この漸化式に $T_1 ( x ) = x$ ， $T_2 ( x ) = 2 x^{2} - 1$ を代入してみると、 $T_3 ( x ) = 4 x^{3} - 3 x$ が出て来る事が確認できます。

二項間漸化式の導出

上記三項間漸化式から次のような行列変換即ち二項間漸化式への移行を考えます。

$$ \begin{bmatrix} T_{n + 1} ( x ) \\ T_{n} ( x ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x & - 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{n} ( x ) \\ T_{n - 1} ( x ) \end{bmatrix}
$$

$\tag{4}$