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三角関数 - 4倍角の公式

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三角関数の4倍角の公式です。
倍角の公式から導出できます。

準備

$\displaystyle \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\displaystyle \cos 2\alpha = 2 \cos ^ {2} \alpha - 1 = 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha$

$\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{ 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^ {2} \alpha }$

導出

$\displaystyle \sin 4 \alpha = \sin 2 ( 2 \alpha ) = 2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha = 2 ( 2 \sin \alpha \cos \alpha ) \left( 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha \right) = 4 \cos \alpha \sin \alpha \left( 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha \right) \\ \displaystyle = \cos \alpha \left( 4 \sin \alpha - 8 \sin ^ {3} \alpha \right)$

$\displaystyle \cos 4 \alpha = \cos 2 ( 2 \alpha ) = 2 \cos ^ {2} 2 \alpha - 1 = 2 \left( 2 \cos ^ {2} \alpha - 1 \right) ^{2} - 1 = 2 \left( 4 \cos ^ {4} \alpha - 4 \cos ^ {2} \alpha + 1 \right) - 1 \\ \displaystyle = 8 \cos ^ {4} \alpha - 8 \cos ^ {2} \alpha + 1$

$\displaystyle \tan 4 \alpha = \tan 2 ( 2 \alpha ) = \frac{ 2 \tan 2 \alpha }{ 1 - \tan ^{2} 2 \alpha } = \frac{ 2 \left( \dfrac{ 2 \tan \alpha }{ 1 - \tan ^{2} \alpha } \right) }{ 1 - \left( \dfrac{ 2 \tan \alpha }{ 1 - \tan ^{2} \alpha } \right) ^ {2} } = \frac{ 4 \tan \alpha \left( 1 - \tan ^{2} \alpha \right) }{ \left( 1 - \tan ^{2} \alpha \right) ^ {2} - ( 2 \tan \alpha ) ^ {2} } \\ \displaystyle = \frac{ 4 \tan \alpha - 4 \tan ^ {3} \alpha }{ 1 - 2 \tan ^ {2} \alpha + \tan ^ {4} \alpha - 4 \tan ^ {2} \alpha } = \frac{ 4 \tan \alpha - 4 \tan ^ {3} \alpha }{ 1 - 6 \tan ^ {2} \alpha + \tan ^ {4} \alpha }$