三角関数 - 8倍角の公式

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三角関数の8倍角の公式です。
倍角の公式、4倍角の公式から導出できます。

準備

$\displaystyle \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\displaystyle \sin 4 \alpha = 4 \cos \alpha \sin \alpha \left( 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha \right) = 4 \sin \alpha \cos \alpha \left( 2 \cos ^ {2} \alpha - 1 \right)$

$\displaystyle \cos 2\alpha = 2 \cos ^ {2} \alpha - 1 = 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha$

$\displaystyle \cos 4 \alpha = 8 \cos ^ {4} \alpha - 8 \cos ^ {2} \alpha + 1 = 8 \sin ^ {4} \alpha - 8 \sin ^ {2} \alpha + 1$

$\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{ 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^ {2} \alpha }$

$\displaystyle \tan 4 \alpha = \frac{ 4 \tan \alpha \left( 1- \tan ^ {2} \alpha \right) }{ 1 - 6 \tan ^ {2} \alpha + \tan ^ {4} \alpha }$

導出

LibreOffice 数式(Math) のソース：

alignl sin 8 %alpha = sin 4 ( 2 %alpha ) = 4 sin 2 %alpha cos 2 %alpha ( 1 - 2 sin ^2 2 %alpha )
newline
alignl phantom { y } = 4 ( 2 sin %alpha cos %alpha ) ( 1 - 2 sin ^2 %alpha ) lbrace 1 - 2 ( 2 sin %alpha cos %alpha ) ^2 rbrace
newline
alignl phantom { y } = 8 sin %alpha cos %alpha ( 1 - 2 sin ^2 %alpha ) ( 1 - 8 sin ^2 %alpha + 8 sin ^4 %alpha )
newline
alignl phantom { y } = 8 sin %alpha cos %alpha ( 1 - 10 sin ^2 %alpha + 24 sin ^4 %alpha -16 sin ^6 %alpha )
newline
alignl phantom { y } = cos %alpha ( 8 sin %alpha - 80 sin ^3 %alpha + 192 sin ^5 %alpha - 128 sin ^7 %alpha )

alignl cos 8 %alpha = cos 4 ( 2 %alpha ) = 8 cos ^2 2 %alpha ( cos ^2 2 %alpha -1 ) + 1
newline
alignl phantom { y } = 8 ( 2 cos ^2 %alpha - 1 ) ^2 lbrace ( 2 cos ^2 %alpha - 1 ) ^2 - 1 rbrace + 1
newline
alignl phantom { y } = 8 ( 4 cos ^4 %alpha - 4 cos ^2 %alpha + 1 ) ( 4 cos ^4 %alpha - 4 cos ^2 %alpha ) + 1
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alignl phantom { y } = 32 cos ^2 %alpha ( 4 cos ^4 %alpha - 4 cos ^2 %alpha + 1 ) ( cos ^2 %alpha - 1 ) + 1
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alignl phantom { y } = 32 cos ^2 %alpha ( 4 cos ^6 %alpha - 8 cos ^4 %alpha + 5 cos ^2 %alpha - 1 ) + 1
newline
alignl phantom { y } = 128 cos ^8 %alpha - 256 cos ^6 %alpha + 160 cos ^4 %alpha - 32 cos ^2 %alpha + 1

alignl tan 8 %alpha = tan 4 ( 2 %alpha ) = { alignc { 4 tan 2 %alpha (1 - 4 tan ^2 2 %alpha ) } over { 1 - 6 tan ^2 2 %alpha + tan ^4 2 %alpha } }
= { alignc { 4 cdot left ( { 2 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha } right ) cdot left lbrace 1 - left ( { 2 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha } right ) ^2 right rbrace } over { 1 - 6 cdot left ( { 2 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha } right ) ^2 + left ( { 2 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha } right ) ^4 } }
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alignl phantom { y } = { alignc { { 8 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha } cdot left lbrace { ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^2 - 4 tan ^2 %alpha } over { ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^2 } right rbrace } over { { ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^4 - 24 tan ^2 %alpha ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^2 + 16 tan ^4 %alpha } over { ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^4 } } }
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alignl phantom { y } = { alignc { 8 tan %alpha ( 1 - tan ^2 %alpha ) ( 1 - 6 tan ^2 %alpha + tan ^4 %alpha ) } over { ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^2 lbrace ( 1 - tan ^2 %alpha ) ^2 - 24 tan ^2 %alpha rbrace + 16 tan ^4 %alpha } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc { 8 tan %alpha ( 1 - 7 tan ^2 %alpha + 7 tan ^4 %alpha - tan ^6 %alpha) } over { ( 1 - 2 tan ^2 %alpha + tan ^4 %alpha ) ( 1 - 26 tan ^2 %alpha + tan ^4 %alpha ) + 16 tan ^4 %alpha } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc { 8 tan %alpha - 56 tan ^3 %alpha + 56 tan ^5 %alpha - 8 tan ^7 %alpha } over { 1 - 28 tan ^2 %alpha + 70 tan ^4 %alpha - 28 tan ^6 %alpha + tan ^8 %alpha } }