三角関数 - 3倍角の公式(2)

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三角関数の3倍角の公式をド・モアブルの定理を用いて導出しました。
展開時の係数は、パスカルの三角形を用います。

$\displaystyle \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta = ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ 3 = \cos ^ {3} \theta + 3 \cos ^{2} \theta ( i \sin \theta ) + 3 \cos \theta ( i \sin \theta ) ^ {2} + ( i \sin \theta ) ^ {3} \\ \displaystyle = ( \cos ^ {3} \theta - 3 \cos \theta \sin \theta ) + i ( 3 \cos ^{2} \theta \sin \theta - \sin ^{3} \theta ) \\ \displaystyle = \cos \theta \left\{ \cos ^{2} \theta - 3 ( 1 - \cos ^{2} \theta ) \right\} + i \sin \theta \left\{ 3 ( 1 - \sin ^{2} \theta ) - \sin ^{2} \theta \right\} \\ \displaystyle = 4 \cos ^ {3} \theta - 3 \cos \theta + i ( 3 \sin \theta- 4 \sin ^ {3} \theta )$

∴

$\displaystyle \cos 3\theta = 4 \cos ^ {3} \theta - 3 \cos \theta$

$\displaystyle \sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin ^ {3} \theta$

また、

$\displaystyle \tan 3\theta = \frac{\sin 3 \theta}{\cos 3 \theta} = \frac{ \sin \theta ( 3 - 4 \sin ^ {2} \theta ) }{\cos \theta ( 4 \cos ^ {2} \theta - 3 ) } = \tan \theta \cdot \frac{3 - 4 \sin ^ {2} \theta}{4 \cos ^ {2} \theta - 3} = \tan \theta \cdot \frac{ \frac{3}{\cos ^{2} \theta} - \frac{4 \sin ^ {2} \theta }{\cos ^{2} \theta} }{ 4 - \frac{3}{\cos ^{2} \theta} } \\ \displaystyle = \tan \theta \cdot \frac{3 ( \tan ^ {2} \theta + 1 ) - 4 \tan ^ {2} \theta }{ 4 - 3 ( \tan ^ {2} \theta + 1 ) } = \tan \theta \cdot \frac{ 3 - \tan ^ {2} \theta }{1 - 3 \tan ^ {2} \theta} = \frac{ 3 \tan \theta - \tan ^ {3} \theta }{ 1 - 3 \tan ^ {2} \theta }$