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三角関数 - 5倍角の公式(2)

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三角関数の5倍角の公式をド・モアブルの定理を用いて導出しました。
展開時の係数は、パスカルの三角形を用います。

$\displaystyle \cos 5 \theta + i \sin 5 \theta = ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ 5 \\ \displaystyle = \cos ^ 5 \theta + 5 \cos ^ 4 \theta ( i \sin \theta) + 10 \cos ^ 3 \theta ( i \sin \theta) ^ 2 + 10 \cos ^ 2 \theta ( i \sin \theta) ^ 3 + 5 \cos \theta ( i \sin \theta) ^ 4 + ( i \sin \theta) ^ 5$

実部と虚部に分けて展開すると、

実部

$\displaystyle \cos ^ 5 \theta - 10 \cos ^ 3 \theta \sin ^ 2 \theta + 5 \cos \theta \sin ^ 4 \theta = \cos \theta \left( \cos ^ 4 \theta - 10 \cos ^ 2 \theta \sin ^ 2 \theta + 5 \sin ^ 4 \theta \right) \\ \displaystyle = \cos \theta \left\{ \cos ^ 4 \theta - 10 \cos ^ 2 \theta \left( 1 - \cos ^ 2 \theta \right) + 5 \left( 1 - \cos ^ 2 \theta \right) ^ 2 \right\} \\ \displaystyle = \cos \theta \left( \cos ^ 4 \theta - 10 \cos ^ 2 \theta + 10 \cos ^ 4 \theta + 5 - 10 \cos ^ 2 \theta + 5 \cos ^ 4 \theta \right) \\ \displaystyle = \cos \theta \left( 16 \cos ^ 4 \theta - 20 \cos ^ 2 \theta + 5 \right) \\ \displaystyle = 16 \cos ^ 5 \theta - 20 \cos ^ 3 \theta + 5 \cos \theta$

虚部

$\displaystyle 5 \cos ^ 4 \theta \sin \theta - 10 \cos ^ 2 \theta \sin ^ 3 \theta + \sin ^ 5 \theta = \sin \theta \left( 5 \cos ^ 4 \theta - 10 \cos ^ 2 \theta \sin ^ 2 \theta + \sin ^ 4 \theta \right) \\ \displaystyle = \sin \theta \left\{ 5 \left( 1 - \sin ^ 2 \theta \right) ^ 2 - 10 \left( 1 - \sin ^ 2 \theta \right) \sin ^ 2 \theta + \sin ^ 4 \theta \right\} \\ \displaystyle = \sin \theta \left( 5 - 10 \sin ^ 2 \theta + 5 \sin ^ 4 \theta - 10 \sin ^ 2 \theta + 10 \sin ^ 4 \theta + \sin ^ 4 \theta \right) \\ \displaystyle = \sin \theta \left( 16 \sin ^ 4 \theta - 20 \sin ^ 2 \theta + 5 \right) \\ \displaystyle = 16 \sin ^ 5 \theta - 20 \sin ^ 3 \theta + 5 \sin \theta$

∴

$\displaystyle \cos 5 \theta = 16 \cos ^ 5 \theta - 20 \cos ^ 3 \theta + 5 \cos \theta$

$\displaystyle \sin 5 \theta = 16 \sin ^ 5 \theta - 20 \sin ^ 3 \theta + 5 \sin \theta$

また、

$\displaystyle \tan 5 \theta = \frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta} = \frac{\sin \theta \left( 16 \sin ^ 4 \theta - 20 \sin ^ 2 \theta + 5 \right) }{\cos \theta \left( 16 \cos ^ 4 \theta - 20 \cos ^ 2 \theta + 5 \right) } = \tan \theta \cdot \frac{ 16 \sin ^ 4 \theta - 20 \sin ^ 2 \theta + 5 }{ 16 \cos ^ 4 \theta - 20 \cos ^ 2 \theta + 5 } \\ \displaystyle = \tan \theta \cdot \frac{ \frac{16 \sin ^ 4 \theta}{\cos ^ 4 \theta} - \frac{20 \sin ^ 2 \theta}{\cos ^ 4 \theta} + \frac{5}{\cos ^ 4 \theta} }{ 16 - \frac{20}{\cos ^ 2 \theta} + \frac{5}{\cos ^ 4 \theta} } = \tan \theta \cdot \frac{ 16 \tan ^ 4 \theta - 20 \tan ^ 2 \theta \cdot \frac{1}{\cos ^ 2 \theta} + 5 \cdot \left( \frac{1}{\cos ^ 2 \theta} \right) ^ 2 }{ 16 - 20 \cdot \frac{1}{\cos ^ 2 \theta} + 5 \cdot \left( \frac{1}{\cos ^ 2 \theta} \right) ^ 2 } \\ \displaystyle = \tan \theta \cdot \frac{ 16 \tan ^ 4 \theta - 20 \tan ^ 2 \theta \left( \tan ^ 2 \theta + 1 \right) + 5 \left( \tan ^ 2 \theta + 1 \right) ^ 2 }{ 16 - 20 \left( \tan ^ 2 \theta + 1 \right) + 5 \left( \tan ^ 2 \theta + 1 \right) ^ 2 } \\ \displaystyle = \tan \theta \cdot \frac{ \tan ^ 4 \theta -10 \tan ^ 2 \theta + 5 }{ 5 \tan ^ 4 \theta - 10 \tan ^ 2 \theta + 1 } = \frac{ \tan ^ 5 \theta -10 \tan ^ 3 \theta + 5 \tan \theta }{ 5 \tan ^ 4 \theta - 10 \tan ^ 2 \theta + 1 }$