ド・モアブルの定理

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ド・モアブルの定理の数学的帰納法による証明です。

公式

$\displaystyle ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ {n} = \cos n \theta + i \sin n \theta$

証明

$n = 1$ の時は自明。

$n = k$ で成り立つとする時、 $n = k + 1$ では、

$\displaystyle ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { k + 1 } = ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { k } ( \cos \theta + i \sin \theta ) = ( \cos k \theta + i \sin k \theta ) ( \cos \theta + i \sin \theta )$

$\displaystyle = \cos k \theta \cos \theta + i \sin k \theta \cos \theta + i \cos k \theta \sin \theta - \sin k \theta \sin \theta$

$\displaystyle = \cos k \theta \cos \theta - \sin k \theta \sin \theta + i ( \sin k \theta \cos \theta + \cos k \theta \sin \theta )$

$\displaystyle = \cos ( k \theta + \theta ) + i \sin ( k \theta + \theta ) = \cos ( k + 1 ) \theta + i \sin ( k + 1 ) \theta$

となり、 $n = k + 1$ でも成り立つ。

解釈

複素平面上での単位円上の点 $P$ を考える(原点は $O$ )。 OPと実軸の正の部分との成す角を $\theta$ とすると、点 $P$ ( $\displaystyle \cos \theta + i \sin \theta$ )と表せる。点 $P$ の $n$ 乗は、 $\theta$ の $n$ 倍の回転移動を表す。

LibreOffice 数式(Math) のソース：

( cos %theta + i sin %theta ) ^n = cos n %theta + i sin n %theta

alignl ( cos %theta + i sin %theta ) ^ { k + 1 } = ( cos %theta + i sin %theta ) ^ k ( cos %theta + i sin %theta )
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alignl phantom { y } = ( cos k %theta + i sin k %theta ) (cos %theta + i sin %theta) = cos k %theta cos %theta + i sin k %theta cos %theta + i cos k %theta sin %theta - sin k %theta sin %theta
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alignl phantom { y } = cos k %theta cos %theta - sin k %theta sin %theta + i ( sin k %theta cos + sin k %theta cos %theta )
newline
alignl phantom { y } = cos ( k + 1 ) %theta + i sin ( k + 1 ) %theta