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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

ド・モアブルの定理

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ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理です。

公式

 \displaystyle ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ {n} = \cos n \theta + i \sin n \theta

証明

 n = 1 の時は自明。

 n = k で成り立つとする時、 n = k + 1 では、

 \displaystyle ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { k + 1 } = ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { k } ( \cos \theta + i \sin \theta ) = ( \cos k \theta + i \sin k \theta ) ( \cos \theta + i \sin \theta )
 \displaystyle = \cos k \theta \cos \theta + i \sin k \theta \cos \theta + i \cos k \theta \sin \theta - \sin k \theta \sin \theta
 \displaystyle = \cos k \theta \cos \theta - \sin k \theta \sin \theta + i ( \sin k \theta \cos \theta + \cos k \theta \sin \theta )
 \displaystyle = \cos ( k \theta + \theta ) + i \sin ( k \theta + \theta ) = \cos ( k + 1 ) \theta + i \sin ( k + 1 ) \theta

となり、 n = k + 1 でも成り立つ。

解釈

複素平面上での単位円上の点 P を考える(原点は O)。 OPと実軸の正の部分との成す角を \theta とすると、点 P( \displaystyle \cos \theta + i \sin \theta )と表せる。 点 P n乗は、 \theta n倍の回転移動を表す。



LibreOffice 数式(Math) のソース:

 

( cos %theta + i sin %theta ) ^n = cos n %theta + i sin n %theta

 

alignl ( cos %theta + i sin %theta ) ^ { k + 1 } = ( cos %theta + i sin %theta ) ^ k ( cos %theta + i sin %theta )
newline
alignl phantom { y } = ( cos k %theta + i sin k %theta ) (cos %theta + i sin %theta) = cos k %theta cos %theta + i sin k %theta cos %theta + i cos k %theta sin %theta - sin k %theta sin %theta
newline
alignl phantom { y } = cos k %theta cos %theta - sin k %theta sin %theta + i ( sin k %theta cos + sin k %theta cos %theta )
newline
alignl phantom { y } = cos ( k + 1 ) %theta + i sin ( k + 1 ) %theta