カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]

1の3乗根

1の３乗根で複素数となるものの1つを $\omega$ と置くと，複素平面上で実数 $1$ と複素数 $\omega$ ， $\omega^2$ の3点を結んでできる三角形は，複素平面上の原点 $O$ を重心とした正三角形となります．

f:id:windview_canada:20211210235100p:plain — 1の3乗根

この時，

$\omega^3 = 1 \tag{1}$

より，

$\omega^3 = 1 \Leftrightarrow \omega^3 - 1 = 0 \Leftrightarrow ( \omega - 1 ) \left( \omega^2 + \omega + 1 \right) = 0 \tag{2}$

となり，更に $\omega \neq 1$ より，

$\omega^2 + \omega + 1 = 0 \tag{3}$

であり，

$(2) \Leftrightarrow \omega^2 = - \omega - 1 \Leftrightarrow \omega^2 + \omega = - 1 \tag{4}$

の関係があります．

また，

$\displaystyle \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2 \tag{5}$
$\displaystyle \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega \tag{6}$

と合わせて，

$\omega^{200} + \omega^{100}$ や $\displaystyle \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}$

と言った値を求めさせる問題が考えられます．

更に， $x^2 + x + 1 = 0$ の2解(複素数解)は，二次方程式の解の公式より

$\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \tag{7}$

となり，

$$
\begin{cases}
{ \displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} }\\
{ \displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} }\\
\end{cases} \tag{ 8 }
$$

と判ります．

ちなみに， $\omega$ と $\omega^2$ は共軛(共役)な複素数です．

即ち，

$$
\begin{cases}
{ \overline{\omega} = \omega^2 }\\
{ \overline{\omega^2} = \omega }\\
\end{cases} \tag{ 9 }
$$

とも表せます．

1の3乗根の複素数解とドモアブルの定理

1の3乗根の複素数解を極座標表示すると，

$\displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{2}{3} \pi + i \sin \frac{2}{3} \pi \tag{10}$

$\displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{4}{3} \pi + i \sin \frac{4}{3} \pi \tag{11}$

となり，

$\omega$ は，複素平面上に於いて原点回りの $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$ 回転， $\omega^2$ は $\displaystyle \frac{4}{3} \pi \left( = \frac{2}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi \right)$ 回転と捉えることができます．

$\omega^2$ の回転角が $\omega$ のそれの2倍となっていることから，ド・モアブルの定理も満たしていることが判ります．

実は， $\omega$ と $\omega^2$ の値を入れ替えても上記の性質は満たします．

実数 $a$ の3乗根

$1$ の3乗根は，方程式 $x^3 = 1 \tag{12}$ を満たす $x$ の3解で，

$x = 1, \omega, {\omega}^2 \tag{13}$

となります．

また同様に，実数 $a$ の3乗根は，方程式 $x^3 = a \tag{14}$ を満たす $x$ の3解です．

$\displaystyle (14) \Leftrightarrow \frac{x^3}{a} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^3}{\left( \sqrt[3]{ a } \right)^3} \Leftrightarrow \left( \frac{x} {\sqrt[3]{ a }} \right)^3 = 1$

∴ $\displaystyle \frac{x} {\sqrt[3]{ a }} = 1, \omega, {\omega}^2 \tag{15}$

∴ $\displaystyle x = \sqrt[3]{ a }, \omega \sqrt[3]{ a }, {\omega}^2 \sqrt[3]{ a } \tag{16}$

3乗の式の因数分解

因数分解の発展公式として有名な

$\displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - a b - b c - c a \right) \tag{17}$

は，複素数の範囲まで拡張して因数分解すると，

$\displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) \tag{18}$

となります．

実際(1)，(4)を考慮して $\left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right)$ を展開してみると，

$\left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + \omega^3 b^2 + \omega^4 b c + \omega c a + \omega^2 b c + \omega^3 c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega^3 \cdot \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + b^2 + c^2 + \left( \omega^2 + \omega \right) a b + \left( \omega^2 + \omega \right) b c + \left( \omega^2 + \omega \right) c a \\ = a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a$