CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

1の3乗根

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1の3乗根

1の3乗根で複素数となるものの1つを \omega と置くと,複素平面上で実数 1複素数 \omega \omega^2 の3点を結んでできる三角形は,複素平面上の原 O を重心とした正三角形となります.

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1の3乗根

 

この時,

 \omega^3 = 1 \tag{1}

より,

 \omega^3 = 1 \Leftrightarrow \omega^3 - 1 = 0 \Leftrightarrow ( \omega - 1 ) \left( \omega^2 + \omega + 1 \right) = 0  \tag{2}

となり,更に \omega \neq 1 より,

  \omega^2 + \omega + 1 = 0 \tag{3}

であり,

 (2) \Leftrightarrow \omega^2 = - \omega - 1 \Leftrightarrow \omega^2 + \omega = - 1 \tag{4}

の関係があります.

また,

 \displaystyle \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2 \tag{5}
 \displaystyle \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega \tag{6}

と合わせて,

 \omega^{200} + \omega^{100}  \displaystyle  \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}

と言った値を求めさせる問題が考えられます.

 

更に, x^2 + x + 1 = 0 の2解(複素数解)は,二次方程式の解の公式より

 \displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \tag{7}

となり,

$$ 
    \begin{cases}
{ \displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} }\\
{ \displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} }\\
    \end{cases} \tag{ 8 }
$$

と判ります.

ちなみに, \omega \omega^2 は共軛(共役)な複素数です.

即ち,

$$
    \begin{cases}
{ \overline{\omega} = \omega^2 }\\
{ \overline{\omega^2} = \omega }\\
    \end{cases} \tag{ 9 }
$$

とも表せます.

 

1の3乗根の複素数解とドモアブルの定理

1の3乗根の複素数解を極座標表示すると,

 \displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{2}{3} \pi + i \sin \frac{2}{3} \pi \tag{10}

 \displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{4}{3} \pi + i \sin \frac{4}{3} \pi \tag{11}

となり,

 \omega は,複素平面上に於いて原点回りの \displaystyle \frac{2}{3} \pi 回転, \omega^2 \displaystyle \frac{4}{3} \pi \left( = \frac{2}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi \right) 回転と捉えることができます.

 \omega^2 の回転角が  \omega のそれの2倍となっていることから,ド・モアブルの定理も満たしていることが判ります.

実は, \omega \omega^2 の値を入れ替えても上記の性質は満たします.

 

実数 aの3乗根

 1 の3乗根は,方程式  x^3 = 1 \tag{12} を満たす  x の3解で,

 x = 1, \omega, {\omega}^2 \tag{13}

となります.

また同様に,実数 a の3乗根は,方程式 x^3 = a \tag{14} を満たす  x の3解です.

 \displaystyle (14) \Leftrightarrow \frac{x^3}{a} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^3}{\left( \sqrt[3]{ a } \right)^3} \Leftrightarrow \left( \frac{x} {\sqrt[3]{ a }} \right)^3 = 1

 \displaystyle \frac{x} {\sqrt[3]{ a }} = 1, \omega, {\omega}^2 \tag{15}

 \displaystyle x = \sqrt[3]{ a }, \omega \sqrt[3]{ a }, {\omega}^2 \sqrt[3]{ a }  \tag{16}

 

 

 

3乗の式の因数分解

因数分解の発展公式として有名な

 \displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - a b - b c - c a \right) \tag{17}

は,複素数の範囲まで拡張して因数分解すると,

 \displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) \tag{18}

となります.

実際(1),(4)を考慮して \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) を展開してみると,

 \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + \omega^3 b^2 + \omega^4 b c + \omega c a + \omega^2 b c + \omega^3 c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega^3 \cdot \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + b^2 + c^2 + \left( \omega^2 + \omega \right) a b + \left( \omega^2 + \omega \right) b c + \left( \omega^2 + \omega \right) c a \\ = a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a

となることが判ります.

 

演習問題