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1の3乗根

1の３乗根で複素数となるものの1つを $\omega$ と置くと、複素平面上で実数 $1$ と複素数 $\omega$ ， $\omega^2$ の3点を結んでできる三角形は、複素平面上の原点 $O$ を重心とした正三角形となります。

f:id:windview_canada:20211210235100p:plain — 1の3乗根

この時、

$\omega^3 = 1 \tag{1}$

より

$\omega^3 = 1 \Leftrightarrow \omega^3 - 1 = 0 \Leftrightarrow ( \omega - 1 ) \left( \omega^2 + \omega + 1 \right) = 0 \tag{2}$

となり、更に $\omega \neq 1$ より

$\omega^2 + \omega + 1 = 0 \tag{3}$

であり、

$(2) \Leftrightarrow \omega^2 = - \omega - 1 \Leftrightarrow \omega^2 + \omega = - 1 \tag{4}$

の関係があります。

また、

$\displaystyle \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2 \tag{5}$
$\displaystyle \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega \tag{6}$

と合わせて、

$\omega^{200} + \omega^{100}$ や $\displaystyle \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}$

と言った値を求めさせる問題が考えられます。

更に、 $x^2 + x + 1 = 0$ の2解(複素数解)は、二次方程式の解の公式より

$\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$

となり、

$\displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}$ ， $\displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2}$ …(7)

と判ります。

ちなみに、 $\omega$ と $\omega^2$ は共役な複素数です。

即ち、 $\overline{\omega} = \omega^2$ ， $\overline{\omega^2} = \omega$ とも表せます。

1の3乗根の複素数解とドモアブルの定理

1の3乗根の複素数解を極座標表示すると、

$\displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{2}{3} \pi + i \sin \frac{2}{3} \pi$

$\displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{4}{3} \pi + i \sin \frac{4}{3} \pi$

となり、

$\omega$ は、複素平面上に於いて原点回りの $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$ 回転、 $\omega^2$ は $\displaystyle \frac{4}{3} \pi \left( = \frac{2}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi \right)$ 回転と捉えることができます。

$\omega^2$ の回転角が $\omega$ のそれの2倍となっていることから、ド・モアブルの定理も満たしていることが判ります。

実は、 $\omega$ と $\omega^2$ の値を入れ替えても上記の性質は満たします。

3乗の式の因数分解

因数分解の発展公式として有名な

$\displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - a b - b c - c a \right) \tag{8}$

は、複素数の範囲まで拡張して因数分解すると、

$\displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) \tag{9}$

となります。

実際(1)，(4)を考慮して $\left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right)$ を展開してみると、

$\left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + \omega^3 b^2 + \omega^4 b c + \omega c a + \omega^2 b c + \omega^3 c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega^3 \cdot \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + b^2 + c^2 + \left( \omega^2 + \omega \right) a b + \left( \omega^2 + \omega \right) b c + \left( \omega^2 + \omega \right) c a \\ = a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a$