三次方程式の解と係数の関係

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三次方程式の解と係数の関係

三次方程式の解と係数の関係です。

$x$ に関する三次方程式 $a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ ( $a \neq 0$ ) の3解を $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ と置くと、因数定理より、

$a x^3 + b x^2 + c x + d = a ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma )$ と表せます。

これより、

$a x^3 + b x^2 + c x + d = a \left\{ x^2 - ( \alpha + \beta ) x + \alpha \beta \right\} ( x - \gamma ) \\ = a \left\{ x ^ 3 - ( \alpha + \beta ) x^2 + \alpha \beta x - \gamma x^2 + ( \alpha + \beta ) \gamma x - \alpha \beta \gamma \right\} \\ = a \left\{ x ^ 3 - ( \alpha + \beta + \gamma ) x^2 + ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) x - \alpha \beta \gamma \right\} \\ \displaystyle \Leftrightarrow x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = x ^ 3 - ( \alpha + \beta + \gamma ) x^2 + ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) x - \alpha \beta \gamma$