二次方程式の解と係数の関係

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二次方程式の解と係数の関係

二次方程式の解と係数の関係です。

$x$ に関する二次方程式 $a x^2 + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) の2解を $\alpha$ ， $\beta$ と置くと、次の関係があります。

$\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle \alpha \beta = \frac{c}{a}$

二次方程式の解の公式による証明

二次方程式の解の公式より、

$\displaystyle \alpha + \beta = \frac{ - b + \sqrt{b^{2} - 4 a c }}{2 a} + \frac{ - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c }}{2 a} = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle \alpha \beta = \frac{ - b + \sqrt{b^{2} - 4 a c }}{2 a} \cdot \frac{ - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c }}{2 a} = \frac { ( - b )^2 - \left( \sqrt{b^{2} - 4 a c } \right)^2 }{4 a^2} = \frac { b^2 - \left( b^{2} - 4 a c \right) }{4 a^2} = \frac{c}{a}$

因数定理による証明

因数定理より

$a x^2 + b x + c = a ( x - \alpha ) ( x - \beta )$ と表せる。

これより、

$a x^2 + b x + c = a \left\{ x^2 - ( \alpha + \beta ) x + \alpha \beta \right\} \Leftrightarrow \displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^2 - ( \alpha + \beta ) x + \alpha \beta$